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Skalarprodukt von Vektoren

Skalares oder inneres Produkt von Vektoren

Zahlen können addiert und multipliziert werden. Für Vektoren, die ja eigentlich durch Pfeile repräsentiert sind, existiert die anschauliche Parallelogrammregel der Addition. Wie steht es aber mit der Multiplikation zweier Vektoren? Gibt es dafür einen sinnvollen Grund? Und wenn ja, wie multipliziert man Pfeile? Die Antwort ist ja und verbindet sich selbstverständlich mit mathematischen Definitionen! Es gibt derer sogar drei, nämlich das skalare, vektorielle und dyadische Produkt. Dieses Kapitel widmet sich der ersten Antwort, kurz als Skalarprodukt bezeichnet. Die zweite Antwort gibt ein weiteres Kapitel zum Thema Vektoren. Das dyadische Produkt wird in der Matrizenrechnung behandelt.

Zur anschaulichen Einführung stellen wir uns einen Wagen vor, der auf einer Schiene steht. Wollen wir ihn eine kleine Strecke bewegen, so müssen wir eine Kraft aufwenden. Die geleistete Arbeit W (ein Skalar!) ist nach den Gesetzen der Physik gleich Weg mal Kraft in Wegrichtung. Weg und Kraft werden bekanntlich durch Vektoren beschrieben, hier mit b bzw. F symbolisiert. Also müssen wir uns nun überlegen, wie das Produkt Weg mal Kraft mit b bzw. F zu gestalten ist, damit der Wert der Arbeit W entsteht. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die wirkende Zugkraft nicht notwendigerweise entlang der Schienen weist. Ein Mensch, der den Wagen mit einem Seil zieht, kann zwischen den Schienen im Schotter laufen, bequemer aber neben den Schienen auf einem glatten, schienenparallelen Weg. Die über das gespannte Zugseil übertragende Zugkraft bildet also im Allgemeinen einen Winkel α mit der Wegrichtung. Die folgende Abbildung schematisiert das Grundsätzliche der Situation.

Abb.1
Vektordiagramm für die auf den Wagen wirkende Kraft F

Wichtige Feststellungen:

  • Alle Vektoren liegen in der Ebene der Schienen.
  • Der Wegvektor b liegt parallel zu den Schienen, da eine Seitwärtsbewegung nicht möglich ist.
  • Der Kraftvektor F steht im Winkel α zu den Schienen, also auch zu b . Er lässt sich in zwei Komponenten zerlegen: F = F 1 + F 2
  • Die Kraftkomponente F 1 in Richtung des Weges b hat den Betrag | F 1 | = | F | cos α
  • Die Kraftkomponente F 2 steht senkrecht zur Wegrichtung b und trägt nicht zur geleisteten Arbeit bei.
  • Die geleistete Arbeit W , gegeben durch Betrag des Weges mal Betrag der Kraft in Wegrichtung, berechnet sich folglich gemäß W = | b | | F | cos α

Kenngrößen eines beliebigen Vektorpaares u und v sind die Beträge | u | und | v | sowie der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel α . Das Wagenbeispiel macht deutlich, dass die multiplikative Verknüpfung der Beträge mit dem Kosinus von α nützlich sein kann. Allgemein wird deshalb folgende Definition getroffen.

Skalarprodukt
Seien u und v zwei Vektoren und α der von ihnen eingeschlossene Winkel. Das Skalarprodukt u v oder inneres Produkt (sprich: u mal v) ist dann definiert gemäß
u v : = | u | | v | cos α = w 0 α 180 w = reelle Zahl (Skalar)

Es ist zulässig, im Skalarprodukt den Punkt zwischen beiden Vektoren auszulassen, d.h. nur kurz u v zu schreiben.

Zum Winkel α - Komponente eines Vektors in Richtung des Zweiten

Die in der Definition des Skalarproduktes angegebene Einschränkung für den Winkel zwischen beiden Vektoren ist üblich, jedoch wegen der Symmetrie des Kosinus eigentlich nicht erforderlich. Für den Bereich 270 α 360 zeigt das Wagenbeispiel sofort, warum das so ist. Für diese Winkel weist das Zugseil schlicht zur linken Seite der Gleise, und nicht nach rechts wie oben gezeigt. Die resultierende Arbeit ist in beiden Fällen gleich.

Für den Winkelbereich 180 α 270 nimmt das Skalarprodukt negative Werte an. Im Wagenbeispiel entsteht also eine negative Arbeit, was eines Kommentares bedarf. Zuvor betrachten wir jedoch eine Folgerung aus der Definition des Skalarproduktes. Für die Vektorkomponente der Kraft in Richtung der Gleise erhalten wir durch Kombination obiger Formel

F 1 = | F | cos α b | b | = | b | | F | cos α | b | b | b | = F b | b | b | b |  .

Die Gleichung stellt die Kraftkomponente F 1 als Vielfaches des Einheitsvektors des Weges b dar. Das Vorzeichen dieses skalaren Vorfaktors wird vom Vorzeichen des Skalarproduktes bestimmt.

Abb.2
Waggonbeispiel für α > 90 , F 1 wirkt entgegengesetzt zum Wegvektor b

Im Wagenbeispiel sind wir stillschweigend von einem Winkel α zwischen 0 und 90 Grad ausgegangen und haben deswegen den Wegvektor (bildlich) nach oben gelegt (siehe Zeichnung). Wächst der Winkel allerdings über 90 hinaus, so bewegt sich natürlich der Wagen (bildlich) nach unten (Zugseil am entgegengesetzten Wagenende angebracht), also entgegengesetzt zum angenommenen Wegvektor. Das negative Resultat des Skalarprodukts - gleichbedeutend mit der geleisteten Arbeit W - signalisiert, dass wir die Richtung des Wegvektors falsch gewählt haben. Die physikalische Welt ist wieder in Ordnung, wenn wir den Wegvektor b (bildlich) nach unten legen. Damit weist sein Einheitsvektor in entgegengesetzte Richtung und das Skalarprodukt ergibt korrekt einen positiven Wert für die geleistete Arbeit.

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