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Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Mehr über lineare Unabhängigkeit und Basen

Dem Begriff der Basis liegt die Idee zugrunde, alle Vektoren auf einen festen Satz möglichst weniger Vektoren b 1 , , b n zurückzuführen. Die Zurückführung geschieht mittels Linearkombination:

v = α 1 b 1 + + α n b n

(darauf, dass n bei den von uns fast ausschließlich betrachteten räumlichen Vektoren stets gleich 3 ist, kommen wir gleich). Da die Basisvektoren möglichst wenige sein sollen, ist klar, dass sie linear unabhängig sein müssen. Denn wie wir am Ende der Vorgängerseite herausfanden, wäre andernfalls mindestens ein Basisvektor als Linearkombination der übrigen darstellbar und damit überflüssig. Damit können wir den Basisbegriff noch einmal etwas eleganter definieren:

Basis eines Vektorraums
n Vektoren b 1 , , b n bilden eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind und jeder andere Vektor als Linearkombination von ihnen geschrieben werden kann.

Was die Zahl n der Basisvektoren betrifft, so lässt sich diese genau angeben. Im dreidimensionalen Raum sind vier oder mehr Vektoren stets linear abhängig, mit zwei oder weniger lassen sich nicht alle Vektoren als Linearkombination darstellen. Das folgt aus keinem der bisher aufgeführten Sätze, man kann es sich aber mit Hilfe seines geometrischen Vorstellungvermögens klar machen. Bewiesen werden diese Tatsachen auch in der Mathematik nicht, da man dort einen etwas anderen Aufbau der Theorie wählt. Jedenfalls stellen wir fest, dass n gleich 3 , der Dimension des Raumes, ist. Auf das gleiche Ergebnis würden wir bei zwei- und eindimensionalen Vektoren kommen, und tatsächlich gilt allgemein:

Theorem
Die Anzahl n der benötigten Basisvektoren ist gleich der Dimension des Raumes, in dem die Vektoren „leben”.

Nur am Rande:

Hinweis
In der Mathematik geht man etwas anders vor: Man betrachtet die Dimension nicht als gegeben, sondern definiert sie als die Anzahl der benötigten Basisvektoren; dort tritt obiger Satz also als Definition des Dimensionsbegriffs auf, der auf den Basisbegriff zurückgeführt wird.

In unserer ersten Definition der Basis hatten wir von den Vektoren gefordert, dass sie nicht 0 sind und paarweise verschiedene Achsenlagen haben. Man mache sich klar, dass dies nur eine Umschreibung der linearen Unabhängigkeit ist (kein strenger Beweis; geometrische Überlegung).

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