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Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit

Bevor wir die lineare Unabhängigkeit definieren können, müssen wir zunächst die exakte Definition der Linearkombination nachholen:

Linearkombination
Seien Vektoren v 1 , , v n gegeben. Jeder Vektor v , der sich als
v = α 1 v 1 + + α n v n
mit Skalaren α 1 , , α n schreiben lässt, heißt Linearkombination von v 1 , , v n .

Mit anderen Worten: v ist Linearkombination der v 1 , , v n , wenn v gleich einem Faktor mal v 1 plus einem Faktor mal v 2 usw. ist.

Betrachten wir zwei Beispiele. Wir gehen davon aus, dass uns eine Basis zur Verfügung steht, welche ist gleichgültig. Dem üblichen Vorgehen entsprechend unterdrücken wir den Unterschied zwischen Vektoren und ihren Komponentendarstellungen bezüglich dieser Basis. Seien

v 1 = 3 1 -1 und v 2 = 0 1 0

(in den Beispielen ist n = 2 ). Der Vektor

v = 6 1 -2

ist Linearkombination von v 1 und v 2 , denn offensichtlich gilt

6 1 -2 = 2 3 1 -1 + ( -1 ) 0 1 0 ,

also

v = 2 v 1 + ( -1 ) v 2 .

Der Vektor

w = 1 1 0

hingegen ist keine Linearkombination von v 1 und v 2 , was etwas schwieriger zu erkennen ist. Wäre w Linearkombination von v 1 und v 2 , so müsste es Skalare α 1 , α 2 geben, so dass

w = α 1 v 1 + α 2 v 2 ,

also

1 0 0 = α 1 3 1 -1 + α 2 0 1 0 ,

was dem Gleichungssystem

1 = 3 α 1 1 = α 1 + α 2 0 = - α 1

entspricht, das aber einen Widerspruch enthält: Nach der ersten Zeile ist α 1 = 1 / 3 , nach der letzten α 1 = 0 . Also kann es keine solchen Skalare α 1 und α 2 geben, also ist w keine Linearkombination von v 1 und v 2 .

Wie sieht es mit dem Nullvektor aus? Von welchen Vektoren ist er Linearkombination? Wir können uns leicht überlegen, dass er aus beliebigen Vektoren linearkombiniert (d.h. als Linearkombination geschrieben) werden kann. Sind v 1 , , v n beliebig vorgegeben, so lässt sich

0 = α 1 v 1 + + α n v n

immer dadurch erfüllen, dass wir

α 1 = 0 , α 2 = 0 , , α n = 0

setzten. Wir nennen die triviale Lösung von . Es kann weitere Lösungen geben, wie folgendes Beispiel zeigt (hier n = 3 ). Seien

v 1 = 0 3 0 , v 2 = 2 -2 0 , v 3 = 2 0 0 .

Offensichtlich gilt

0 0 0 = 2 0 3 0 + 3 2 -2 0 + ( -3 ) 2 0 0 ,

so dass auch mit

α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = -3

erfüllt ist. In diesem Fall existiert also außer der trivialen eine nichttriviale Lösung. Es gibt aber auch Fälle, in denen nur die triviale Lösung existiert, z.B. (wieder n = 3 )

v 1 = 1 0 0 , v 2 = 0 2 0 , v 3 = 0 0 -1 .

Der Leser kann selbst nachprüfen, dass man sowohl α 1 als auch α 2 als auch α 3 gleich 0 setzen muss, um zu erfüllen; eine andere Möglichkeit, und damit eine nichttriviale Lösung, gibt es nicht. Damit sind wir übrigens schon beim zweiten Begriff angelangt, denn man definiert:

Lineare Unabhängigkeit
n Vektoren v 1 , , v n heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor aus ihnen nur trivial linearkombiniert werden kann, d.h. wenn nur für α 1 = 0 , α 2 = 0 , , α n = 0 erfüllt ist.

Demnach sind die Vektoren linear unabhängig, die Vektoren hingegen nicht. Vektoren, die nicht linear unabhängig sind, nennt man auch linear abhängig.

Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit kann auch anders charakterisiert werden. Nehmen wir an, v 1 , , v n sind linear abhängig. Dann gilt mit Koeffizienten α k , von denen mindestens einer, sagen wir α n , ungleich Null ist. Teilen wir durch α n und lösen nach v n auf, ergibt sich

v n = α ' 1 v 1 + + α ' n -1 v n -1

mit α ' k = - α k / α n . Offensichtlich also ist v n Linearkombination von v 1 , , v n -1 . Gehen wir nun umgekehrt vor und nehmen wir an, v n sei Linearkombination von v 1 , , v n -1 . Dann gilt wieder , wobei die α ' k diesmal irgend welche Skalare sind, von denen wir nur wissen, dass sie existieren. Setzen wir α k = α ' k für k = 1 , , n -1 und α n = -1 und bringen wir v n auf die andere Seite, so ergibt sich mit Koeffizienten, von denen mindestens einer, nämlich α n , ungleich Null ist, also sind v 1 , , v n linear unabhängig. Da die Rolle von v n auch jeder andere der n Vektoren übernehmen kann, haben wir folgendes Resultat: n Vektoren v 1 , , v n sind genau dann linear abhängig, wenn mindestens einer von ihnen als Linearkombination der übrigen geschrieben werden kann. Das ist offensichtlich äquivalent zu:

Theorem
n Vektoren v 1 , , v n sind genau dann linear unabhängig, wenn keiner von ihnen als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann.

Dies ist der eigentliche Grund, warum der Begriff der linearen Unabhängigkeit so wichtig ist. Wir werden das auf der nächsten Seite weiter vertiefen.

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