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Komponentendarstellung eines Vektors

Rechts- und linkshändige Basen und Koordinatensysteme

Eine Vektorbasis im dreidimensionalen Raum besteht bekanntlich aus drei Vektoren $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ , die per Index nummeriert sind. Dieser Schreibweise haben wir bisher wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Auf die Nummerierung kommt es aber manchmal an. Der Einfachheit halber gehen wir im Folgenden stets von orthonormierten Basen aus, ohne dies jedesmal explizit anzugeben.

Betrachten wir jetzt die beiden Basen $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ und $e'_{1}, e'_{2}, e'_{3}$ , deren zweite wie folgt definiert ist:

e'_{1} = e_{2}, e'_{2} = e_{1}, e'_{3} = e_{3}

Beide Basen unterscheiden sich nur in der Nummerierung der ansonsten gleichen Vektoren. Die Abbildung verdeutlicht sie grafisch.

Abb.1: Rechtshändige Basis

Abb.2: Linkshändige Basis

Was unterscheidet die beiden Basen? Stellen wir uns vor, wir klettern auf die Spitze des dritten Basisvektors, also $e_{3}$ bzw. $e'_{3}$ , und blicken von dort in Richtung seines Anfangspunkts. Nehmen wir weiter an, wir sollten nun den ersten Vektor, also $e_{1}$ bzw. $e'_{1}$ , durch Drehung mit dem zweiten, also $e_{2}$ bzw. $e'_{2}$ , in Deckung bringen, wobei die Drehung entlang des kleineren, also 90 -Grad-Winkels zwischen beiden Vektoren erfolgen soll. Wir stellen fest, dass wir im Fall der Basis $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ nach links, im Fall der Basis $e'_{1}, e'_{2}, e'_{3}$ nach rechts drehen müssen. Das gibt Anlass zu folgender Definition:

Linkshändige und rechtshändige Basis: Eine Basis wie $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ heißt linkshändig, eine Basis wie $e'_{1}, e'_{2}, e'_{3}$ rechtshändig.

Die Begriffe übertragen sich in naheliegender Weise auf Koordinatensysteme:

Linkshändiges und rechtshändiges Koordinatensystem: Ein Koordinatensystem heißt rechts- bzw. linkshändig, wenn seine Basis rechts- bzw. linkshändig ist.

In aller Regel bevorzugt man rechtshändige Basen und Koordinatensysteme. Die Verallgemeinerung auf nicht-normierte orthogonale Basen und Koordinatensysteme ist trivial. Wir können die Begriffe sogar auf beliebige Tripel $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ von Vektoren ausdehnen, wobei wir aber sinnvollerweise voraussetzen müssen, dass $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ alle vom Nullvektor verschieden sind und paarweise verschiedene Achsenlagen haben, also eine Basis bilden. Was letztere Verallgemeinerung betrifft, vereinbaren wir folgende Sprechweise:

Rechts- und Linkssystem: Drei Vektoren bilden ein Rechts- bzw. Linkssystem, wenn sie, als Basis aufgefasst, eine rechts- bzw. linkshändige Basis darstellen.