Koordinatensysteme

Basen für Ortsvektoren haben eine besondere Bedeutung. Da Ortsvektoren eigentlich Pfeile sind und deshalb einen bestimmten Anfangspunkt haben, wählen wir auch für eine Basis $\mathit{B}$, in der wir Ortsvektoren darstellen wollen, einen solchen Punkt. Er sei mit $\mathit{O}$ bezeichnet. Seien ferner $\mathit{P}$ ein Punkt im Raum, $\mathit{r}$ dessen Ortsvektor bezüglich $\mathit{O}$ als Ursprung und ${\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2,{\mathit{r}}_3$ die Komponenten von $\mathit{r}$ bezüglich $\mathit{B}$ als Basis, d.h. es gelte

$$\mathit{r}={\mathit{r}}_1{\mathit{b}}_1+{\mathit{r}}_2{\mathit{b}}_2+{\mathit{r}}_3{\mathit{b}}_3,$$

wobei ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,{\mathit{b}}_3$ die Basisvektoren bezeichnen. Wir vereinbaren folgende Sprechweisen:

Koordinatensystem

Ursprung $\mathit{O}$ und Basis $\mathit{B}$ bilden zusammen ein Koordinatensystem $\mathit{K}$. Die drei Zahlen ${\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2,{\mathit{r}}_3$ heißen Koordinaten des Punktes $\mathit{P}$ bezüglich $\mathit{K}$.

Man mache sich den feinen Unterschied zwischen einem Koordinatensystem und einer Basis klar: Zu einem Koordinatensystem gehört immer ein fester Punkt, der Ursprung, zu einer Basis nicht. Desgleichen gibt es einen Unterschied zwischen Koordinaten und Komponenten: Erstere sind einem Raumpunkt zugeordnet und auf ein Koordinatensystem bezogen, letztere einem Vektor (oder Pfeil) und auf eine Basis bezogen.

Koordinatensysteme visualisiert man gewöhnlich in einer Art, die der Leser sicher schon gesehen hat: Man verlängert die Basisvektoren über Anfangs- und Endpunkt hinaus zu einer unendlichen Achse, der Koordinatenachse, die man oft noch mit einer Skaleneinteilung versieht.

Die Begriffe normiert, orthogonal und orthonormiert lassen sich ohne weiteres von Basen auf Koordinatensysteme übertragen. Rechtwinklige, d.h. orthogonale Koordinatensysteme haben eine besondere Bedeutung; sie werden auch kartesische Koordinatensysteme genannt. Koordinaten bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems heißen auch kartesische Koordinaten und werden mit $\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}$ bezeichnet. Fast immer wählt man ein kartesisches Koordinatensystem auch normiert. Die $\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z}$ entsprechenden Einheitsvektoren werden dann mit $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$ bezeichnet.