Rechtwinklige und normierte Basen

Wir greifen noch einmal den Begriff der Basis auf und entwickeln ihn weiter. Als Basisvektoren eignen sich drei beliebige Vektoren ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,{\mathit{b}}_3$, die vom Nullvektor verschieden sind und paarweise verschiedene Achsenlagen haben. Die größte praktische Bedeutung haben allerdings Basen, deren Vektoren eines oder auch beide der folgenden Merkmale aufweisen: Normiertheit und paarweise Orthogonalität. Definieren wir zunächst diese Begriffe.

Normierter Vektor

Ein Vektor $\mathit{v}$ heißt normiert, wenn er die Länge $1$ hat, wenn also $|\mathit{v}|=1$. Ein Vektor mit der Länge $1$ heißt Einheitsvektor.

Für den Begriff der Orthogonalität benötigen wir zunächst den Begriff des Winkels zwischen zwei Vektoren $\mathit{u}$ und $\mathit{v}$, der aber sehr naheliegend definiert ist. Legen wir die beiden Vektoren so, dass sie im selben Punkt beginnen, so ist der Winkel zwischen ihnen derjenige, dessen Schenkel $\mathit{u}$ und $\mathit{v}$ bilden (siehe Zeichnung). Genau genommen gibt es zwei solche Winkel, einen kleineren und einen größeren (im Grenzfall können auch beide gleich 180 Grad sein), entsprechend größerer bzw. kleinerer Winkel zwischen $\mathit{u}$ und $\mathit{v}$ genannt. Wenn nichts anderes gesagt wird, ist bei uns stets der kleinere gemeint (in vielen Fällen ist es sogar gleichgültig, welcher von beiden benutzt wird).

Die Orthogonalität von Vektoren ist nun äußerst naheliegend definiert:

Orthogonale Vektoren

Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn der (kleinere) Winkel zwischen ihnen ${90}^{\mathit{\circ }}$ beträgt.

Man macht sich das wieder am besten anhand einer Zeichnung klar:

Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, kann obige Definition schlecht angewandt werden. Man trifft daher folgende Festlegung: der Nullvektor heißt zu jedem Vektor orthogonal. Das hat sich als zweckmäßig herausgestellt.

Nun zu den eingangs angekündigten speziellen Basentypen:

Orthonormalbasis

Eine Basis $\mathit{B}$ heißt normiert, wenn ihre Basisvektoren ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,{\mathit{b}}_3$ alle normiert sind. $\mathit{B}$ heißt orthogonal, wenn ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,{\mathit{b}}_3$ alle paarweise orthogonal sind. Ist $\mathit{B}$ sowohl normiert als auch orthogonal, so heißt $\mathit{B}$ orthonormiert. Eine orthogonale Basis heißt auch Orthogonalbasis, eine orthogonale und normierte auch Orthonormalbasis, abgekürzt ONB.

Wozu sind solche Basen gut? Wir werden bei vielen Gelegenheiten sehen, dass orthogonale oder besser noch orthonormierte Basen die Verhältnisse wesentlich einfacher und übersichtlicher machen. Die Orthogonalität z.B. vereinfacht generell Rechenschritte, die das so genannte Skalarprodukt zweier Vektoren (nicht zu verwechseln mit der Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor) beinhalten.

Hinweis

Logische Feinheit: In der letzten Definition hatten wir vorausgesetzt, dass $\mathit{B}$ eine Basis ist. Diese Voraussetzung ist aber unnötig, wenn ${\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,{\mathit{b}}_3$ vom Nullvektor verschieden und paarweise orthogonal sind – drei solche Vektoren bilden nämlich immer eine Basis. Mit anderen Worten: Es gibt keine drei paarweise orthogonalen Nicht-Nullvektoren, die keine Basis wären. Die Richtigkeit dieser Aussage kann man sich anschaulich geometrisch klarmachen.