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Komponentendarstellung eines Vektors

Komponentendarstellung

Wir wählen drei feste Vektoren b 1 , b 2 , b 3 . Sind sie alle vom Nullvektor verschieden und haben sie paarweise verschiedene Achsenlagen (siehe entsprechende Seite), was wir im Folgenden voraussetzen, so können wir jeden beliebigen Vektor v als Summe

v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3

mit Skalaren v 1 , v 2 , v 3 schreiben. Die Abbildung verdeutlicht diesen Ansatz.

Abb.1
Darstellung eines Vektors durch Basisvektoren

Dass wir gerade drei so genannte Basisvektoren b 1 , b 2 , b 3 benötigen, um jeden Vektor v in der Art darzustellen, hat etwas damit zu tun, dass unsere Vektoren im dreidimensionalen Raum „leben”. Auch dies erfassen wir intuitiv und verzichten auf einen Beweis (tatsächlich geht man in der Mathematik sogar umgekehrt vor: Man definiert den Begriff „Dimension” als die Anzahl der benötigten Basisvektoren).

Das Vektorentripel b 1 , b 2 , b 3 nennen wir eine Basis. Der Ausdruck auf der rechten Seite von ist eine so genannte Linearkombination von b 1 , b 2 , b 3 (eine genauere Definition dieses Begriffs folgt später, siehe entsprechende Empfehlung) – Fassen wir zusammen:

Basis eines dreidimensionalen Vektorraums
Drei Vektoren b 1 , b 2 , b 3 , alle vom Nullvektor verschieden und mit paarweise verschiedenen Achsenlagen, bilden zusammen eine Basis. Die einzelnen Vektoren heißen Basisvektoren. Jeder beliebige Vektor v lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben.

Die drei Zahlen oder Komponenten v 1 , v 2 , v 3 sind durch v eindeutig bestimmt, umgekehrt bestimmen sie v eindeutig. Üblicherweise vereint man sie zu einem so genannten geordneten Tripel – eine Zusammenfassung von drei Objekten unter Auszeichnung einer Reihenfolge – , geschrieben

v 1 , v 2 , v 3 oder v 1 v 2 v 3 .

Formulieren wir auch das in einem Merksatz:

Theorem
Die drei Zahlen v 1 , v 2 , v 3 aus (4) heißen Komponenten von v . Jedem Vektor entspricht – bei fester Basis b 1 , b 2 , b 3 – umkehrbar eindeutig ein geordnetes Tripel von Komponenten.

Zum Zusammenhang zwischen Vektoren und ihren Komponentendarstellungen. Die Komponentendarstellung des Vektors v – darunter verstehen wir das Zahlentripel (5) – bezeichnen wir mit v . Das ist eher unüblich. Wir werden sehen, dass man die Vektorrechnung vollständig mit Hilfe der Komponentendarstellungen durchführen kann und die eigentlichen Vektoren gar nicht mehr braucht. Es hat sich deshalb eingebürgert, in Sprache und Notation den Unterschied zwischen Vektoren und Komponentendarstellungen zu unterdrücken, also statt „Komponentendarstellung” auch „Vektor” zu sagen und für beide das gleiche Symbol zu verwenden. Wir werden uns dem später anschließen. Vorerst jedoch legen wir Wert auf eine Unterscheidung beider Begriffe.

Noch etwas ist wichtig. Wenn oben von der umkehrbar eindeutigen Zuordnung zwischen Vektoren und Zahlentripeln die Rede war, so ist dabei der Zusatz „bei fester Basis” essentiell. Ein Vektor hat nämlich bezüglich verschiedener Basen i.A. auch verschiedene Komponenten, mit anderen Worten: Die Komponentendarstellung hängt von der Basis ab.

Nach der Behauptung am Anfang dieser Seite sollte sich mit Komponentendarstellungen besser rechnen lassen als mit Vektoren. Prüfen wir also, wie die beiden uns bekannten Rechenoperationen (Skalarprodukt und Vektorprodukt) in der Komponentendarstellung aussehen. Da wäre zunächst die Multiplikation mit Skalaren. Seien ein Skalar α und ein Vektor v gegeben und v 1 , v 2 , v 3 seine Komponenten, also

v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 .

Unter Verwendung der bekannten Rechenregeln erhalten wir

α v = α v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 = α v 1 b 1 + α v 2 b 2 + α v 3 b 3 .

Demnach sind α v 1 , α v 2 , α v 3 die Komponenten von α v . – Fassen wir zusammen:

Skalarmultiplikation in der Komponentendarstellung
In der Komponentendarstellung wird ein Vektor v mit einem Skalar α multipliziert, indem man jede Komponente von v mit α multipliziert, also
α v = α v 1 α v 2 α v 3 .

Zur Erinnerung: α v bezeichnet die Komponentendarstellung von α v bezüglich b 1 , b 2 , b 3 . Später, wenn wir den Unterschied zwischen α v und α v haben fallen lassen, werden wir statt (5) auch schreiben können:

α v = α v 1 v 2 v 3 = α v 1 α v 2 α v 3 .

Ganz analog liegen die Verhältnisse bei der Addition. Seien u und v zwei Vektoren und u 1 , u 2 , u 3 bzw. v 1 , v 2 , v 3 ihre Komponenten. Dann ist

u = u 1 b 1 + u 2 b 2 + u 3 b 3 und v = v 1 b 1 + v 2 b 2 + v 3 b 3 .

Mit den bekannten Rechenregeln ergibt sich (Zwischenschritte weggelassen)

u + v = ( u 1 + v 1 ) b 1 + ( u 2 + v 2 ) b 2 + ( u 3 + v 3 ) b 3 .

Also:

Vektoraddition in der Komponentendarstellung
In der Komponentendarstellung werden zwei Vektoren u und v addiert, indem man die jeweiligen Komponenten addiert, d.h.
u + v = u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 .

Haben wir den Unterschied zwischen u + v und u + v erst einmal fallen gelassen, können wir auch schreiben:

u + v = u 1 u 2 u 3 + v 1 v 2 v 3 = u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 .

Noch zwei einfache aber wichtige Feststellungen:

Nullvektor und negativer Vektor in der Komponentendarstellung
Die Komponentendarstellung des Nullvektors ist
0 0 0 .
Die Komponentendarstellung des zu v negativen Vektors ist
- v 1 - v 2 - v 3 .
Beide Aussagen gelten unabhängig von der Wahl der Basis.

Wie bestimmt man die Komponenten eines gegebenen Vektors v ? Das hängt sehr davon ab, wie v gegeben ist. In den eher seltenen Fällen, dass v in der Form vorliegt, von der wir hier aus didaktischen Gründen ausgehen (Gesamtheit von materiellen Pfeilen), wird man naturgemäß geometrische Überlegungen und Konstruktionen anwenden. Häufiger sind allerdings die Fälle, in denen bei der Festlegung von v schon eine Basis im Spiel ist. Dabei kann es vorkommen, dass v als Rechenausdruck vorliegt; oder zwar in Komponentendarstellung, aber bezüglich einer anderen Basis als der gewünschten. Verfahren zur Ermittlung der Komponenten in diesen Fällen werden wir später kennen lernen.

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