zum Directory-modus

Einführung in die Vektorrechnung

Vektoralgebra

Für Vektoren sind zwei Rechenoperatoren von elementarer Wichtigkeit: die Multiplikation mit Skalaren (Zahlen) und die Addition untereinander. Damit stellt sich auch die Frage, welchen Betrag der resultierende Vektor annimmt. Dieses Kapitel führt in die grundlegenden Regeln ein.

Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl? Da jeder Vektor eine bestimmte Länge hat, ist folgende Festlegung sinnfällig:

Skalarmultiplikation eines Vektors
Ein Vektor v wird mit einer Zahl α multipliziert, indem man seine Länge mit dem Absolutbetrag von α multipliziert und im Fall α 0 seine Richtung beibehält, im Fall α < 0 seine Richtung umkehrt. Der dabei entstehende Vektor wird α v oder kurz α v geschrieben.

Unter der „Umkehrung der Richtung” ist genau das gemeint, was man intuitiv erwarten würde: bildlich gesprochen wird die Spitze des Vektors „abmontiert” und am entgegengesetzten Ende „anmontiert” (wenn man will, kann man den Vektor danach noch so weit entlang seiner Richtung verschieben, dass sein Anfangspunkt wieder am ursprünglichen Ort ist). Obige Verknüpfung eines Skalars mit einem Vektor nennen wir Multiplikation mit Skalaren oder kurz Skalarmultiplikation.

Um zur Vektoraddition zu kommen, betrachten wir das Beispiel der Hüttenwanderer. Angenommen, ein Wanderer bricht vom Wegweiser zu einer Hütte A auf und geht von dort zur Hütte B weiter. Ein zweiter Wanderer bewegt sich direkt vom Wegweiser zur Hütte B.

Bitte Flash aktivieren.

Abb.1
Veranschaulichung der Vektoraddition

Wir symbolisieren den Wegweiser zur Hütte A durch den Vektor v 01 und jenen von der Hütte A weiter zur Hütte B durch den Vektor v 12 . Entsprechend besteht für den direkten Weg zur Hütte B der Vektor v 02 . Beide Wanderer starten am ersten Wegweiser und kommen letztlich an der Hütte B an. Vom Ergebnis her gesehen, haben beide das Gleiche erreicht: Sie treffen in der Hütte B ein. Wir können das wie folgt in Worte fassen: Vektor v 01 und v 12 ist gleich v 02 . Mathematisch drücken wir das durch die Gleichung

v 01 + v 12 = v 02

aus. Daraus ergibt sich die allgemeine Definition der Addition zweier beliebiger Vektoren v 1 und v 2 :

Vektoraddition
Zwei Vektoren v 1 und v 2 werden addiert, indem man den Anfangspunkt von v 2 in die Spitze von v 1 legt und den Vektor vom Anfangspunkt von v 1 zum Endpunkt von v 2 bildet. Letzterer Vektor heißt Summe von v 1 und v 2 und wird mit v 1 + v 2 bezeichnet.

Die Subtraktion von Vektoren führen wir auf die Addition und Skalarmultiplikation mit zurück:

Vektorsubtraktion
Der Vektor v 2 wird vom Vektor v 1 subtrahiert, indem man ihn mit -1 multipliziert und zu v 1 addiert, also v 1 + ( -1 v 2 ) bildet. Dieser Vektor heißt Differenz von v 1 und v 2 und wird mit v 1 - v 2 bezeichnet.

Subtrahieren wir v 1 von sich selbst, bilden wir also v 1 - v 1 , erhalten wir den so genannten Nullvektor, bezeichnet mit 0 . Dieser hat einige Besonderheiten. Zunächst einmal ist seine Länge = 0 . Wie sieht es mit seiner Richtung aus? Die Richtung eines Vektors ist die von seinem Anfangs- zu seinem Endpunkt. Beim Nullvektor sind Anfangs- und Endpunkt identisch. Durch zwei identische Punkte kann man jede Richtung legen; so gesehen hat 0 jede Richtung. Auf diese Sichtweise hat man sich festgelegt (das ist zugegebenermaßen etwas willkürlich – wie im Übrigen jede Definition – , hat sich aber als sinnvoll herausgestellt).

Nullvektor
Der Nullvektor 0 hat die Länge 0 und jede Richtung. Durch diese Eigenschaften ist er eindeutig charakterisiert.

Außer dem Nullvektor gibt es noch einen zweiten Begriff, den wir uns merken müssen. Bei der Definition der Subtraktion hatten wir den Vektor -1 v 1 gebildet. Dieser ist wichtig genug, um ihm einen eigenen Namen und ein eigenes Symbol zu geben:

Negativer Vektor
Für jeden Vektor v heißt -1 v der zu v negative Vektor. Er wird mit - v bezeichnet.

Regeln für die Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar

Für diese beiden Grundrechenoperationen gelten eine Reihe von wichtigen Rechenregeln, die aus den oben gegebenen Betrachtungen folgen. Die Subtraktion ist nicht explizit angegeben, da sie auf die Addition und Multiplikation mit dem Skalaren -1 zurückführbar ist (siehe Regel 4 und 5).

Tab.1
Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren: u , v , w Vektoren, α , β , γ Skalare; 0 = Nullvektor
1 u + v = v + u
2 ( u + v ) + w = u + ( v + w )
3 u + 0 = u
4 u + ( - u ) = 0
5 α ( β u ) = ( α β ) u
6 1 u = u
7 λ ( u + v ) = λ u + λ v
8 ( α + β ) u = α u + β u

Die erste Regel stellt das Kommutativ- und die zweite das Assoziativitätsgesetz der Vektoraddition dar. Regel 5 ist das Assoziativitätsgesetz für die gemischte Multiplikation Skalar × Skalar × Vektor. Bei den Regeln 7 und 8 handelt es sich um verschiedene Distributivgesetze für Kombinationen aus Vektoraddition und Skalarmultiplikation. Man macht sich die Regeln am besten graphisch durch Skizzen wie die folgenden klar:

Bitte Flash aktivieren.

Bitte Flash aktivieren.

Abb.2
Abb.3

Links: Kommutativität der Addition, rechts: Distributivität der Addition (rechts animiert)

Die Addition beliebig vieler Vektoren v 1 , v 2 , , v n ist analog der von zweien definiert: der Anfangspunkt von v 2 wird in den Endpunkt von v 1 gelegt, dann der Anfangspunkt von v 3 in den Endpunkt von v 2 usw. (siehe Abbildung). Als Resultat der Addition wird der Vektor vom Anfangspunkt von v 1 zum Endpunkt von v n genommen. Dieser Vektor heißt Summe der v 1 , , v n .

Bitte Flash aktivieren.

Abb.4
Addition mehrerer Vektoren (animiert)

v 1 + v 2 + + v n oder k = 1 n v k

Regeln für die Betragsbildung eines Vektors

Für den Vektorbetrag gelten folgende Rechenregeln.

Tab.2
Rechenregeln Vektorbetrag: u und v sind beliebige Vektoren, c ein beliebiger Skalar
1 | v | 0
2 | v | v = 0
3 | c v | = | c | | v |
4 | u + v | | u | + | v |
Abb.5
| u | , | v | und | u + v | sind Seitenlängen des Dreiecks.

Die Regeln 1 - 3 leuchten unmittelbar ein. Regel 4 heißt Dreiecksungleichung. Sie ist nebenstehend graphisch verdeutlicht.

Im Grenzfall kann auch | u + v | = | u | + | v | sein. Er liegt vor, wenn u und v die gleiche Richtung haben.

Hinweis
Die Rechenregeln aus Tab.1 haben übrigens nicht nur eine praktische Bedeutung als Hilfsmittel für den Umgang mit Vektoren, sondern auch eine theoretische. Der Vektorbegriff ist in der Mathematik stark verallgemeinert worden. Dabei ist man übereingekommen, dass das Wesentliche an den Vektoren ihre Rechenregeln sind. Entsprechend bezeichnet man als Vektoren jedwede Objekte, für die eine Addition untereinander sowie eine Multiplikation mit Skalaren gemäß der Regeln in Tabelle 1 definiert ist. Das betrifft z.B. die komplexen Zahlen (Vektoren in der komplexen Zahlenebene) und die so genannten Wellenfunktionen in der Quantenchemie.
Seite 2 von 3