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Einführung in die Vektorrechnung

Was sind Vektoren?

Denken wir uns einen Wanderer in den Bergen. Er sei unterwegs zu einer Hütte mit der Bezeichnung A. An einem Wegweiser findet er ein Schild mit der Aufschrift „A 12 km”. Dem Wanderer werden hierdurch zwei Informationen mitgeteilt: erstens, wie weit es bis zur Hütte A ist (durch die Angabe „12 km”), zweitens, in welcher Richtung sie liegt (durch die Richtung, in die das Schild weist).

Abb.1
Wanderer an einem Wegweiser

So wie hier begegnen uns sowohl im Alltag als auch in Physik und Chemie oft Größen, die nicht nur durch eine Zahl, sondern zusätzlich durch eine Richtung charakterisiert sind. Der Versuch, einen Begriff zu definieren, der durch zwei solche Informationen charakterisiert ist, wird uns letztlich auf den Begriff des Vektors führen. Als Vorstufe dazu definieren wir zunächst den Begriff des Pfeils. Einen Pfeil stellen wir uns ganz anschaulich vor als einen dünnen Stab mit einer Spitze am einen Ende. Das andere Ende soll unverrückbar an einem Raumpunkt befestigt sein, so dass dem Pfeil ein bestimmter Ort, eben dieser Raumpunkt, zugeordnet werden kann. Im Beispiel von eben wäre der Ort des Pfeils der Wegweiser, der Pfeil wäre 12 km lang und seine Spitze würde die Hütte berühren. In der folgenden Abbildung ist dies skizziert:

Abb.2
Pfeil vom Wegweiser zur Hütte A

Etwas abstrakter sei der Pfeilbegriff wie folgt definiert:

Pfeil
Ein Pfeil ist vollständig gegeben durch einen festen Punkt im Raum, eine Richtung und eine Länge. Der feste Punkt heißt Ort des Pfeils.

Sprachvereinbarung: Den Ort eines Pfeils nennen wir auch seinen Fuß, Fußpunkt oder Anfangspunkt, den Ort seiner Spitze auch einfach seine Spitze oder seinen Endpunkt. Manchmal ist es sinnvoll, die Richtung eines Pfeils in zwei Begriffe aufzuspalten: Achsenlage und Richtungssinn. Zwei Pfeile haben die gleiche Achsenlage, wenn sie parallel oder antiparallel sind. Sie haben überdies den gleichen Richtungssinn, wenn sie parallel sind, ihre Spitzen in die gleiche Richtung weisen; andernfalls haben sie entgegengesetzten Richtungssinn. Die Länge eines Vektors nennen wir auch seinen Betrag oder Vektorbetrag.

Verschieben wir einen Pfeil im Raum, ohne seine Richtung und/oder Länge zu verändern, so wird er dennoch zu einem anderen Pfeil, da sein Ort sich ändert. Das ist oft unpraktisch. Wir führen deshalb einen weiteren Begriff ein, den Vektor, der sich vom Pfeil nur dadurch unterscheiden soll, dass er im Raum frei verschiebbar ist. Ansonsten kan man sich einen Vektor wie einen Pfeil als einen dünnen Stab mit einer Spitze am einen Ende vorstellen.

Wir erweitern nun das obige Wegweiserbild. Dafür denken wir uns einen weiteren Wegweiser, der sich bei der Hütte A befindet. Er trägt die Aufschrift „B 12 km ” und weist zur Hütte B mit gleicher Richtung wie jener bei Hütte A. Er definiert einen weiteren Pfeil mit gleicher Richtung und Länge wie der erste, besitzt allerdings einen anderen Startpunkt. Da beide Pfeile durch Parallelverschiebung ineinander überführbar sind, repräsentieren sie denselben Vektor. Das verdeutlichen die folgenden Abbildungen.

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Abb.3
Abb.4

Gezeigt sind Pfeile, die durch Verschiebung ineinander überführbar sind (Anklicken „Start”) und deshalb denselben Vektor darstellen.

Abb.5
Abb.6
Abb.7

Gezeigt sind Gegenbeispiele. Links: gleiche Richtung, aber unterschiedliche Länge; Mitte: gleiche Länge, aber unterschiedliche Richtung; Rechts: unterschiedliche Länge und Richtung. Diese Pfeile entsprechen also jeweils verschiedenen Vektoren.

In der Physik lassen sich weitere Beispiele finden. So wird etwa die Geschwindigkeit als Vektor definiert, siehe hierzu Physik-Modul VSC (speziell klassische Mechanik). Seine Länge ist die gewöhnliche skalare Geschwindigkeit (zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit), seine Richtung die, in die sich der Körper bewegt. Nun kann der Körper durchaus an verschiedenen Orten dieselbe skalare Geschwindigkeit und dieselbe Bewegungsrichtung haben. Es ist sinnvoll, ihm dann auch denselben Geschwindigkeitsvektor zuzuordnen. Dies ist vereinbar mit der Definition des freien Vektors als Gesamtheit der parallel verschobenen Pfeile.

Vektor
Ein Vektor oder freier Vektor ist die Gesamtheit aller Pfeile gegebener Richtung und Länge.

Diese Definition erklärt Vektoren zwar nicht direkt als „im Raum verschiebbare Pfeile”, läuft aber genau darauf hinaus.

Wir haben hier sorgfältig zwischen Pfeilen und Vektoren unterschieden. In der Praxis ist der Vektorbegriff ungleich wichtiger, der Pfeilbegriff kommt fast gar nicht vor. Der Vektorbegriff ist sogar so dominierend, dass die wenigen wichtigen Pfeile meist auch „Vektoren” genannt werden. Einer von ihnen ist der so genannte Ortsvektor.

Ortsvektor
Sei ein fester Punkt O im Raum vorgegeben. Für jeden Punkt P heißt der Pfeil von O nach P , also der Pfeil am Ort O mit der Spitze im Punkt P , Ortsvektor von P .

Hierbei ist O fest und P variabel. Alle Ortsvektoren sind also Pfeile am selben Ort O . Wir nennen O Ursprung der Ortsvektoren und später, wenn wir Koordinatensysteme (siehe Komponentendarstellung eines Vektors) eingeführt haben, auch Ursprung des Koordinatensystems. Mit Hilfe von Ortsvektoren ist es möglich, Positionen im Raum durch Vektoren – eigentlich: Pfeile – darzustellen, was oft nützlich ist.

Abb.8
Ursprung und einige Punkte im Raum mit ihren Ortsvektoren

Ein paar weitere Definitionen:

Linienflüchtiger Vektor
Ein linienflüchtiger Vektor ist die Gesamtheit aller Pfeile gegebener Richtung, Länge und Wirkungslinie. Eine Verschiebung ist nur entlang der Wirkungslinie möglich.
Gebundener Vektor
Ein gebundener Vektor ist ein Pfeil gegebener Richtung, Länge und Angriffspunkt. Eine Verschiebung ist nicht möglich.

Ein paar abschließende Bemerkungen: Wir haben hier Pfeile und Vektoren im dreidimensionalen Raum betrachtet. Die Begriffe lassen sich aber leicht auf die Ebene übertragen, was zu zweidimensionalen Pfeilen und Vektoren führt. Es gibt sogar eindimensionale Pfeile und Vektoren. Es sind solche, die statt im Raum oder in der Ebene in einer Geraden „leben”. Man kann sogar noch weiter gehen und die Begriffe auf beliebige Dimensionen ausdehnen.

Zur Notation: Vektoren und Pfeile werden oft wie hier mit fettgedruckten kleinen Buchstaben symbolisiert, also v , a oder r . Eine alternative Schreibweise bedient sich eines kleinen Pfeils über dem Buchstaben. Die Länge eines Pfeils oder Vektors v geben wir mit | v | an.

Hinweis
Der mit der Vektorrechnung bereits vertraute Leser wird wissen, dass man in der Praxis fast nur mit Zahlentripeln rechnet, üblicherweise als Zeilen- oder Spaltenvektoren
3 -2 4 bzw. 3 -2 4
geschrieben. Das werden wir später auch tun, einfach, weil es praktisch ist. Um jedoch eine fundierte Basis für das Arbeiten mit Vektoren zu erhalten, ist es notwendig, sich diese zu Beginn anschaulich geometrisch vorzustellen. Diese Vorstellung ist übrigens auch der Ausgangspunkt für alle Weiterentwicklungen des Vektorbegriffs gewesen.
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