zum Directory-modus

Exponentialdarstellung komplexer Zahlen

Exponentialdarstellung komplexer Zahlen

Sei z eine komplexe Zahl. In der trigonometrischen Darstellung ist

z = | z | ( cos φ + i sin φ )

Für einen konstanten Betrag | z | ist z eine Funktion einer Veränderlichen φ . Differenziert man z ( φ ) nach φ , so erhält man

d z d φ = | z | ( - sin φ + i cos φ )

Folglich ist

d z d φ = i z

Dies ist eine lineare gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung mit der Anfangsbedingung z ( φ = 0 ) = | z | . Die Gleichung

z = A e i φ

erfüllt , da

d z d φ = i A e i φ = i z

ist. Nach Substitution der Anfangsbedingung erhält man

z ( 0 ) = | z | = A e i 0 = A 1 = A

Folglich ist die Lösung von

z = | z | e i φ

Gleichung ist die so genannte Euler´sche Formel oder Exponentialform der komplexen Zahl z .

Periodizität von e i φ

Die Funktionen sin φ und cos φ sind periodisch mit der Periode 2 π . Diese Periodizität zeigt sich dementsprechend auch in e i φ , das gleich cos φ + i sin φ ist:

e i ( φ + 2 π ) = e i φ e i 2 π = e i φ ( cos 2 π + i sin 2 π ) = e i φ ( 1 + i 0 ) = e i φ

Diese Gleichheit gilt für jedes ganzzahlige Vielfache von 2 π

e i ( φ + 2 π n ) = e i φ n = 0 , ± 1 , ± 2 ,

e i φ stellt in der komplexen Zahlenebene, sagen wir für φ = 60 = π / 3 , einen Punkt auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten ( x , y ) = ( 1 / 2 , 3 / 2 ) dar. Für n = 1 macht der Punkt entlang des Kreises genau einen Umlauf gegen den Uhrzeigersinn, für n = 2 , 3 , entsprechend zwei, drei,... Umläufe. Für n = -1 ist es gerade ein Umlauf im Uhrzeigersinn, für n = -2 , -3 , entsprechend zwei, drei,... Umläufe. Die Periodizität von e i φ ist damit unmittelbar anschaulich.

Komplexe Arithmetik in der Exponentialdarstellung

Die konjugiert komplexe Zahl zu z = r e i φ ist

z * = ( r e i φ ) * = r e - i φ

In der Exponentialdarstellung ist die Multiplikation komplexer Zahlen ganz leicht auszuführen. Seien

z 1 = r 1 e i φ 1 und z 2 = r 2 e i φ 2

Dann ist

z 3 = z 1 z 2 = r 1 r 2 e i φ 1 e i φ 2 = r 1 r 2 e i ( φ 1 + φ 2 )

Also ist

| z 3 | = r 1 r 2 und arg ( z 3 ) = φ 1 + φ 2

Komplexe Zahlen lassen sich in der Exponentialdarstellung auch sehr einfach potenzieren:

z n = ( r e i φ ) n = r n e i n φ , n = 0 , ± 1 , ± 2 ,

und

z 1 / n = ( r e i ( φ + 2 π k ) ) 1 / n = r 1 / n e i ( φ + 2 π k ) / n k = 0 , 1 , , n -1

Der Quotient zweier komplexen Zahlen ist

z 3 = z 1 z 2 = z 1 z 2 -1 = r 1 e i φ 1 ( r 2 e i φ 2 ) -1 = r 1 e i φ 1 r 2 -1 e - i φ 2 = r 1 r 2 -1 e i ( φ 1 - φ 2 )
<Seite 1 von 2