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Exponentialdarstellung komplexer Zahlen

Satz von De Moivre

In der Polardarstellung ist

z = r e i φ = r ( cos φ + i sin φ )

Für eine beliebige ganze Zahl n ist die n -te Potenz von z

z n = r n e i n φ = r n ( cos φ + i sin φ ) n

Es gilt auch

e i n φ = cos ( n φ ) + i sin ( n φ )

Durch Vergleich der beiden letzten Gleichungen ergibt sich die Formel von De Moivre:

Theorem
( cos φ + i sin φ ) n = cos ( n φ ) + i sin ( n φ ) , n
Beweis

Die Gültigkeit dieser Formel lässt sich durch vollständige Induktion beweisen.

Induktionsanfang. Für n = 0 ist die Formel trivial. Für n = 1 ist die Formel offensichtlich gültig:

( cos φ + i sin φ ) 1 = cos ( φ ) + i sin ( φ )

Induktionsannahme. Die Formel ist für k > 1 , k gültig:

( cos φ + i sin φ ) k = cos ( k φ ) + i sin ( k φ )

Nun ist die Gültigkeit der Formel für n = k +1 unter Zugrundelegung der Annahme für n = k zu zeigen:

( cos φ + i sin φ ) k +1 = ( cos φ + i sin φ ) ( cos φ + i sin φ ) k = ( cos φ + i sin φ ) { cos ( k φ ) + i sin ( k φ ) } = cos φ cos ( k φ ) - sin φ sin ( k φ ) + i { sin φ cos ( k φ ) + cos φ sin ( k φ ) } = cos { ( k +1 ) φ } + i sin { ( k +1 ) φ }

Somit ist die Formel für n = k +1 gültig. Durch den Induktionsschluss gilt die Formel für alle n , n 0 .

Für negative n = - k , k > 0 hat man

( cos φ + i sin φ ) - k = { ( cos φ + i sin φ ) k } -1 = { cos ( k φ ) + i sin ( k φ ) } -1 = 1 cos ( k φ ) + i sin ( k φ ) = 1 cos ( k φ ) + i sin ( k φ ) cos ( k φ ) - i sin ( k φ ) cos ( k φ ) - i sin ( k φ ) = cos ( k φ ) - i sin ( k φ ) cos 2 ( k φ ) + sin 2 ( k φ ) = cos ( k φ ) - i sin ( k φ ) = cos ( - k φ ) + i sin ( - k φ )

und somit ist die Formel auch für negative n gültig.

Die Formel von De Moivre ist eine der nützlichsten Gleichungen der elementaren Mathematik. Dadurch können Formeln für sin ( n φ ) und cos ( n φ ) gewonnen werden.

Beispiel
cos ( 2 φ ) + i sin ( 2 φ ) = ( cos φ + i sin φ ) 2 = cos 2 φ - sin 2 φ + i 2 cos φ sin φ

Der Vergleich von reellen und imaginären Teilen auf beiden Seiten ergibt

cos ( 2 φ ) = cos 2 φ - sin 2 φ sin ( 2 φ ) = 2 cos φ sin φ

d.h. eine Gleichung zwischen zwei komplexen Zahlen bedeutet ein Paar Gleichungen zwischen reellen Zahlen.

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