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Komplexe Wurzeln eines Polynoms

Wurzel aus 1

Jeder weiß, dass die Gleichung

x 2 = 1

durch die Werte z 0 = +1 und z 1 = -1 erfüllt ist. z 0 und z 1 werden auch als Wurzeln bezeichnet oder als Nullstellen der Gleichung

x 2 - 1 = 0 .

Für das weitere Verständnis schreiben wir beide Wurzeln mit neuen Indizes:

z 0 = 1 + i 0 = cos 0 + i sin 0 = e i 0 2 π / 2 z 1 = - 1 + i 0 = cos 180 + i sin 180 = e i 1 2 π / 2

Beide Werte sind ein Beispiel mit n = 2 der allgemeinen Definition

z k e i k 2 π / n k = 0 , 1 , 2 , , n -1 .

Da

z k n = e i k 2 π n n = e i k 2 π = 1

gilt, sind z k die n Wurzeln oder Nullstellen der Gleichung

x n = 1 bzw. x n - 1 = 0

Man sieht, dass

z k = ( e i 2 π / n ) k = z 1 k k = 0 , 1 , 2 , , n -1

ist, so dass alle n Zahlen

1 , z 1 , z 1 2 , z 1 3 , , z 1 n -1 mit z 1 = e i 2 π / n

n -te Wurzeln von 1 . damit wird aus

( z 1 k ) n = ( z 1 n ) k = 1 k = 1 .

Die n Werte z k stellen n Punkte in gleichen Abständen auf dem Einheitskreis dar mit den Winkeln

φ = 0 2 π n , 1 2 π n , , ( n - 1 ) 2 π n .

Die n z k -Werte bilden die Ecken des regulären n -Ecks, die dem Einheitskreis eingeschrieben sind. Dies erkennt man, wenn man die Wurzeln in summiert (geometrische Reihe) und das Ergebnis 0 erhält:

1 + z 1 + z 1 2 + z 1 3 + + z 1 n -1 = k = 0 n -1 z 1 k = 1 - z 1 n 1 - z 1 = 0 1 - z 1 = 0.
Abb.1
n = 4
Abb.2
n = 5
Abb.3
n = 6

Wenn n gerade ist, liegt eine Ecke im Punkt -1 , da -1 eine Wurzel von x n - 1 = 0 für n gerade ist.

Zerlegt man in zwei Faktoren wie folgt

x n - 1 = ( x -1 ) ( x n -1 + x n -2 + + x + 1 ) = 0 ,

dann müssen die in Gleichung definierten Zahlen z 1 , z 2 , z 3 , , z n -1 die Gleichung

x n -1 + x n -2 + + x + 1 = 0

erfüllen.

Beispiel

Die komplexen Kubikwurzeln von 1 sind z 1 und z 2 . Sie erfüllen die Gleichung

x 2 + x + 1 = 0

wobei

z 1 = -1 + i 3 2 und z 2 = -1 - i 3 2

ist.

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