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Komplexe Wurzeln eines Polynoms

Wurzeln aus komplexen Zahlen

Zwei oder mehrere komplexe Zahlen z 1 , z 2 z n werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert. Daraus folgt, dass die n -te Potenz z n , n

| z n | = | z | n und arg ( z n ) = n arg ( z )

erfüllt. Sei z eine komplexe Zahl. Die n -te Wurzel w aus z erfüllt die Gleichung

w n = z

Sei w eine beliebige Lösung von . In der trigonometrischen Darstellung ist

z = | z | ( cos φ + i sin φ ) .

Aus

| w n | = | w | n = | z |

folgt dann

| w | = | z | n .

Die Argumente erfüllen

arg ( z ) = n arg ( w ) ,

wobei arg ( z ) = φ + 2 π l , l ist. Folglich ist

φ + 2 π l = n arg ( w )

und man erhält

arg ( w ) = φ n + 2 π l n .

Es gibt stets eine ganze Zahl q und eine ganze Zahl k mit 0 k n -1 , so dass

l = q n + k

ist. Somit erhält man

arg ( w ) = φ n + 2 π k n + 2 π q , k = 0 , 1 , , n -1.

oder

arg ( w ) = φ n + 2 π k n , k = 0 , 1 , , n -1 ,

da 2 π q ein ganzes Vielfaches von 2 π ist. Man kann daraus entnehmen, dass es n komplexe Zahlen w 0 , w 1 , , w n -1 mit

| w k | = | z | n und arg ( w k ) = arg ( z ) n + 2 π k n , k = 0 , 1 , , n -1

gibt, die erfüllen.

Theorem
Jede komplexe Zahl z 0 hat genau n komplexe n -te Wurzeln w 0 , w 1 , , w n -1 .

Dieser Satz ist ein Sonderfall des Fundamentalsatzes der Algebra

w n - z = ( w - w 0 ) ( w - w 1 ) ( w - w n -1 ) = 0 .

Die Lösungen w k von w n = z bilden die Ecken eines regelmäßigen n -Ecks auf dem Kreis vom Radius | z | n , z.B. die Wurzeln w 0 , w 1 , w 2 von w 3 - z = 0 bilden die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks:

Abb.1
Die 3 -ten Wurzeln aus z

Aus der Animation entnimmt man, dass w 3 - z = 0 stets eine reelle Wurzel für z reell besitzt.

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