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Komplexe Wurzeln eines Polynoms

Fundamentalsatz der Algebra

Eine algebraische Gleichung n -ten Grades mit reellen Koeffizienten der Form

a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x + a 0 = 0 a i ( a n 0 )

hat höchstens n reelle Lösungen.

Beispiel

Das quadratische (Grad 2) Polynom x 2 - 1 = 0 hat zwei reelle Wurzeln x = 1 und x = -1 , während x 2 + 1 = 0 keine reelle Lösungen hat.

Werden komplexe Lösungen auch zugelassen, dann besitzt genau n Lösungen, z.B. x 2 + 1 = 0 hat zwei komplexe Lösungen x = i und x = - i .

Theorem
Jede algebraische Gleichung n -ten Grades mit reellen oder komplexen Koeffizienten der Form
a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x + a 0 = 0 a i ( a n 0 ) .
besitzt stets n Lösungen in .

Folglich kann jedes Polynom n -ten Grades

f ( x ) = a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x + a 0

in ein Produkt von genau n Faktoren zerlegt werden

f ( x ) = ( x - z 1 ) ( x - z 2 ) ( x - z n ) ,

wobei z 1 , z 2 , , z n die komplexen Wurzeln der Gleichung f ( x ) = 0 sind.

In manchen Fällen werden die Wurzeln nicht alle erschieden sein, z.B. die Wurzel x = 3 der quadratischen Polynom x 2 - 6 x + 9 = ( x - 3 ) ( x - 3 ) = 0 hat die Vielfachheit 2.

Lösung der allgemeinen algebraischen Gleichung n -ten Grades

Die Lösung der quadratischen Gleichung

f ( x ) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0

erhält man mit Hilfe der Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 durch eine Folge von Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und die Ausziehung einer Quadratwurzel) wie folgt:

x 1 = a 1 + a 1 2 - 4 a 2 a 0 2 a 2 und x 2 = - a 1 - a 1 2 - 4 a 2 a 0 2 a 2 .

Bei der wesentlich komplizierteren Auflösung algebraischer Gleichungen 3 - und 4 -ten Grades kommt die Ausziehung von Kubikwurzeln und vierten Wurzeln hinzu. Man sagt, dass algebraische Gleichungen 2 -, 3 - und 4 -ten Grades durch rationale Operationen und Radikale gelöst werden können.

Beispiel

Das kubische (Grad 3) Polynom mit reellen Koeffizienten

a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0

hat entweder drei reelle Wurzeln oder eine reelle Wurzel und zwei konjugiert komplexe Wurzeln. Die kubische Gleichung war von Tartaglia, Cardanus und andere im 16. Jahrhundert gelöst (siehe Link). Die Van-der-Waals-Zustandsgleichung ist ein Beispiel einer kubischen Gleichung im Volumen V .

Theorem
Jede algebraische Gleichung ungeraden Grades ( n = 1 , 3 , ) mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Wurzel.

Algebraische Gleichungen 5 -ten und höheren Grades können durch rationale Operationen und Radikale unmöglich gelöst werden.

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