Komplexe Wurzeln eines Polynoms
Fundamentalsatz der Algebra
Eine algebraische Gleichung -ten Grades mit reellen Koeffizienten der Form
hat höchstens reelle Lösungen.
- Beispiel
Das quadratische (Grad 2) Polynom hat zwei reelle Wurzeln und , während keine reelle Lösungen hat.
Werden komplexe Lösungen auch zugelassen, dann besitzt genau Lösungen, z.B. hat zwei komplexe Lösungen und .
- Theorem
- Jede algebraische Gleichung -ten Grades mit reellen oder komplexen Koeffizienten der Form
- besitzt stets Lösungen in .
Folglich kann jedes Polynom -ten Grades
in ein Produkt von genau Faktoren zerlegt werden
wobei die komplexen Wurzeln der Gleichung sind.
In manchen Fällen werden die Wurzeln nicht alle erschieden sein, z.B. die Wurzel der quadratischen Polynom hat die Vielfachheit 2.
Lösung der allgemeinen algebraischen Gleichung -ten Grades
Die Lösung der quadratischen Gleichung
erhält man mit Hilfe der Koeffizienten durch eine Folge von Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und die Ausziehung einer Quadratwurzel) wie folgt:
Bei der wesentlich komplizierteren Auflösung algebraischer Gleichungen - und -ten Grades kommt die Ausziehung von Kubikwurzeln und vierten Wurzeln hinzu. Man sagt, dass algebraische Gleichungen -, - und -ten Grades durch rationale Operationen und Radikale gelöst werden können.
- Beispiel
Das kubische (Grad 3) Polynom mit reellen Koeffizienten
hat entweder drei reelle Wurzeln oder eine reelle Wurzel und zwei konjugiert komplexe Wurzeln. Die kubische Gleichung war von Tartaglia, Cardanus und andere im 16. Jahrhundert gelöst (siehe Link). Die Van-der-Waals-Zustandsgleichung ist ein Beispiel einer kubischen Gleichung im Volumen .
- Theorem
- Jede algebraische Gleichung ungeraden Grades () mit reellen Koeffizienten hat eine reelle Wurzel.
Algebraische Gleichungen -ten und höheren Grades können durch rationale Operationen und Radikale unmöglich gelöst werden.