Fundamentalsatz der Algebra

Eine algebraische Gleichung $\mathit{n}$ -ten Grades mit reellen Koeffizienten der Form

$${\mathit{a}}_{\mathit{n}}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}+{\mathit{a}}_{\mathit{n}-1}{\mathit{x}}^{\mathit{n}-1}+\dots +{\mathit{a}}_1\mathit{x}+{\mathit{a}}_0=0{\mathit{a}}_{\mathit{i}}\in ℝ({\mathit{a}}_{\mathit{n}}\ne 0)$$

hat höchstens $\mathit{n}$ reelle Lösungen.

Beispiel

Das quadratische (Grad 2) Polynom ${\mathit{x}}^2-1=0$ hat zwei reelle Wurzeln $\mathit{x}=1$ und $\mathit{x}=-1$, während ${\mathit{x}}^2+1=0$ keine reelle Lösungen hat.

Werden komplexe Lösungen auch zugelassen, dann besitzt genau $\mathit{n}$ Lösungen, z.B. ${\mathit{x}}^2+1=0$ hat zwei komplexe Lösungen $\mathit{x}=\text{i}$ und $\mathit{x}=-\text{i}$.

Theorem

Jede algebraische Gleichung $\mathit{n}$ -ten Grades mit reellen oder komplexen Koeffizienten der Form

$${\mathit{a}}_{\mathit{n}}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}+{\mathit{a}}_{\mathit{n}-1}{\mathit{x}}^{\mathit{n}-1}+\dots +{\mathit{a}}_1\mathit{x}+{\mathit{a}}_0=0{\mathit{a}}_{\mathit{i}}\in ℂ({\mathit{a}}_{\mathit{n}}\ne 0).$$

besitzt stets $\mathit{n}$ Lösungen in $ℂ$.

Folglich kann jedes Polynom $\mathit{n}$ -ten Grades

$$\mathit{f}(\mathit{x})={\mathit{a}}_{\mathit{n}}{\mathit{x}}^{\mathit{n}}+{\mathit{a}}_{\mathit{n}-1}{\mathit{x}}^{\mathit{n}-1}+\dots +{\mathit{a}}_1\mathit{x}+{\mathit{a}}_0$$

in ein Produkt von genau $\mathit{n}$ Faktoren zerlegt werden

$$\mathit{f}(\mathit{x})=(\mathit{x}-{\mathit{z}}_1)(\mathit{x}-{\mathit{z}}_2)\dots (\mathit{x}-{\mathit{z}}_{\mathit{n}}),$$

wobei ${\mathit{z}}_1,{\mathit{z}}_2,\dots ,{\mathit{z}}_{\mathit{n}}$ die komplexen Wurzeln der Gleichung $\mathit{f}(\mathit{x})=0$ sind.

In manchen Fällen werden die Wurzeln nicht alle erschieden sein, z.B. die Wurzel $\mathit{x}=3$ der quadratischen Polynom ${\mathit{x}}^2-6\mathit{x}+9=(\mathit{x}-3)(\mathit{x}-3)=0$ hat die Vielfachheit 2.