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Geometrische Deutung komplexer Zahlen

Geometrische Deutung der Summe und des Produktes komplexer Zahlen

Wir betrachten zwei komplexe Zahlen z 1 und z 2 . Die Zeiger von z 1 und z 2 bilden zwei Seiten eines Parallelogramms in der Gauß´schen Zahlenebene. Die Summe z 3 = z 1 + z 2 entspricht dem Endpunkt der von Null ausgehenden Diagonalen im Parallelogramm.

Abb.1
Addition zweier komplexer Zahlen

In der trigonometrischen Darstellung sind z 1 und z 2 :

z 1 = | z 1 | ( cos φ 1 + i sin φ 1 ) z 2 = | z 2 | ( cos φ 2 + i sin φ 2 ) .

Bilden wir das Produkt z 3 = z 1 z 2 , so erhalten wir

z 1 z 2 = | z 1 | ( cos φ 1 + i sin φ 1 ) | z 2 | ( cos φ 2 + i sin φ 2 ) = | z 1 | | z 2 | { ( cos φ 1 cos φ 2 - sin φ 1 sin φ 2 ) + i ( sin φ 1 cos φ 2 + sin φ 2 cos φ 1 ) } = | z 1 z 2 | { cos ( φ 1 + φ 2 ) + i sin ( φ 1 + φ 2 ) } .

Folglich ist | z 3 | = | z 1 | | z 2 | und arg ( z 3 ) = arg ( z 1 ) + arg ( z 2 ) .

Theorem
Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert.

Daraus erhält man die Information, dass die Multiplikation komplexer Zahlen etwas mit Drehung zu tun hat.

Abb.2
Multiplikation zweier komplexer Zahlen
  • Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl z 2 = a . Dann ist | z 2 | = | a | = a und arg ( z 2 ) = 0 z 3 = z 1 z 2 = | z 1 a | ( cos φ 1 + i sin φ 1 ) = a z 1 , und somit ist | z 3 | = a | z 1 | und arg ( z 3 ) = arg ( z 1 ) . Dies bedeutet eine Streckung des Zeigers z 1 um den Faktor a .
  • Multiplikation mit einer negativen reellen Zahl z 2 = - a . Dann ist | z 2 | = | a | = a und arg ( z 2 ) = π z 3 = z 1 z 2 = | z 1 a | { cos ( φ 1 + π ) + i sin ( φ 1 + π ) } = - a z 1 , und somit ist | z 3 | = a | z 1 | und arg ( z 3 ) = arg ( z 1 + π ) . Dies bedeutet eine Streckung des Zeigers z 1 um den Faktor a und anschließend eine Drehung um π (im Uhrzeigersinn oder Gegenuhrzeigersinn).
  • Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag Eins. Dann ist | z 2 | = 1 und arg ( z 2 ) = φ 2 z 3 = z 1 z 2 = | z 1 | { cos ( φ 1 + φ 2 ) + i sin ( φ 1 + φ 2 ) } , und somit ist | z 3 | = | z 1 | und arg ( z 3 ) = arg ( z 1 ) + arg ( z 2 ) . Dies bedeutet eine Drehung des Zeigers z 1 um φ 2 . Für φ 2 > 0 erfolgt die Drehung im Gegenuhrzeigersinn und für φ 2 < 0 im Uhrzeigersinn.

Daraus folgt, dass mehrere komplexe Zahlen z 1 , z 2 z n multipliziert werden, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert:

| z 1 , z 2 z n | = k = 1 n | z k | und arg ( z 1 , z 2 z n ) = k = 1 n arg ( z k ) .
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