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Geometrische Deutung komplexer Zahlen

Geometrische Deutung komplexer Zahlen

Die komplexen Zahlen lassen sich geometrisch deuten. Eine komplexe Zahl z wird durch ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y beschrieben, also durch zwei voneinander unabhängige reelle Zahlen. Geometrisch anschaulich stellt man diese Zahl auch durch einen Punkt z in einer Ebene dar, dessen Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem x und y sind. Diese Ebene heißt komplexe Ebene oder Gauß´sche Zahlenebene.

Abb.1
Gauß´sche Zahlenebene

Die zur Koordinate x gehörende Achse nennt man die reelle Achse, die zur Koordinate y gehörende die imaginäre Achse. Für y = 0 ist z eine reelle Zahl x , z B. z = ± 1 . Diese liegt auf der reellen Achse. Für x = 0 ist z eine rein imaginäre Zahl i y , z.B. z = ± i , die auf der imaginären Achse liegt.

Wir können uns z auch als Pfeil, Strahl oder so genannten Zeiger vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum Punkt z vorstellen. Der absolute Betrag | z | bezeichnet die Länge des Zeigers z , d.h. den Abstand des Punktes z vom Nullpunkt.

Ein Punkt auf einer kartesischen Ebene lässt sich auch durch Polarkoordinaten ( r , φ ) beschreiben und somit funktioniert dies auch mit einer komplexen Zahl z . Die reelle Zahl r ist der Abstand vom Punkt zum Ursprung der Koordinatensystems und ist so gleich dem Betrag | z | von z . φ ist der Winkel zwischen der positiven x -Achse und dem Zeiger von z , gemessen in positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn).

Argument einer komplexen Zahl
Als Argument arg ( z ) der komplexen Zahl z 0 bezeichnet man den Winkel φ (im Bogenmaß), zwischen dem Zeiger z und der positiven Richtung der (reellen) x -Achse.

Das Argument ist die Länge desjenigen Bogens (Startpunkt z = 1 ), der dem Winkel φ im Einheitskreis | z | = 1 gegenüberliegt.

Achtung: Der Winkel φ ist nur bis auf ein additives, ganzzahliges Vielfaches 2 π bestimmt. Also

arg ( z ) = φ + 2 k π , k = 0 , ± 1 , ± 2 , .

Wenn man z.B. 0 arg ( z ) < 2 π verlangt, so ist das Argument eindeutig und es wird als Hauptwert des Argumentes bezeichnet.

Beispiel
arg ( 1 ) = 0 , arg ( i ) = π / 2 , arg ( -1 ) = π , arg ( - i ) = 3 π / 2 .
Abb.2
Gauß´sche Zahlenebene

Trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl

Sei z = x + i y 0 . Die Form x + i y heißt algebraische Form. Wir setzen r = | z | und φ = arg ( z ) , dann ist x = r cos φ , y = r sin φ . Daraus folgt die so g.enanntetrigonometrische Form von z :

z = x + i y = r cos φ + i sin φ = r ( cos φ + i sin φ ) = | z | ( cos { arg ( z ) } + i sin { arg ( z ) } ) .

Es ist natürlich:

z = r { cos ( φ + 2 k π ) + i sin ( φ + 2 k π ) } k = 0 , ± 1 , ± 2 , .

Wenn x und y bekannt sind, kann man daraus r und φ bestimmen:

r = | z | = x 2 + y 2 tan φ = sin φ cos φ = y x ( da cos φ = x r und sin φ = y r )

Die Vorzeichen von x und y entscheiden, in welchem Quadranten φ zu wählen ist.

1. Quadrant: φ = arctan y x ( 0 φ < π / 2 ) 2. Quadrant: φ = arctan y x + π ( π / 2 φ < π ) 3. Quadrant: φ = arctan y x + π ( π φ < 3 π / 2 ) 4. Quadrant: φ = arctan y x + 2 π ( 3 π / 2 φ < 2 π ) .
Abb.3
arctan ( y / x )
Abb.4
Quadranten der Gauß´schen Zahlenebene
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