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Einführung in die komplexen Zahlen

Konjugiert komplexe Zahlen

Die Verknüpfung von z 1 und z 2 durch Addition, Subtraktion oder Multiplikation ist sehr einfach durchzuführen. Etwas komplizierter sieht es bei der Division aus:

z 1 z 2 = x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 , z 2 0 .

Der Trick liegt hier in der Erweiterung des Bruches mit der komplexen Zahl x 2 - i y 2 , um den Nenner reell zu machen. Dann wird:

z 1 z 2 = ( x 1 + i y 1 ) ( x 2 + i y 2 ) ( x 2 - i y 2 ) ( x 2 - i y 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i x 2 y 1 - x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 .

Die Zahl z 2 * = x 2 - i y 2 heißt die zu z 2 = x 2 + i y 2 konjugiert komplexe Zahl.

Konjugiert komplexe Zahl
Ist z = x + i y eine komplexe Zahl, so heißt z * = x - i y die konjugiert komplexe Zahl zu z .

Das Ersetzen von i durch - i ändert eine komplexe Zahl in ihre konjugiert komplexe Zahl. Zu beachten ist

( z * ) * = z .

Es gelten folgende Rechenregeln:

( 1 ) ( z 1 + z 2 ) * = z 1 * + z 2 * , ( z 1 z 2 ) * = z 1 * z 2 * , ( 2 ) z + z * = 2 Re ( z ) , z - z * = 2 i Im ( z ) , ( 3 ) z = z * z reell , ( 4 ) z = - z * z rein imaginär , ( 5 ) z z * = Re ( z ) 2 + Im ( z ) 2 , d.h. 0 z z * .

Inverse komplexe Zahl und Division

Für eine komplexe Zahl z = x + i y 0 existiert eine inverse komplexe Zahl z -1 bezüglich Multiplikation, d.h.

z z -1 = 1 = z -1 z z -1 = 1 z .

Dann ist

z -1 = 1 z = 1 z z * z * = z * z z * = x - i y x 2 + y 2 .

Der Quotient zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 0 ist gegeben durch

z 1 z 2 = z 1 z 2 * z 2 z 2 * = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i x 2 y 1 - x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 .
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