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Einführung in die komplexen Zahlen

Körpereigenschaften der komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl ist ein Paar z = ( x , y ) zweier reeller Zahlen x , y . Für zwei komplexe Zahlen z 1 = ( x 1 , y 1 ) und z 2 = ( x 2 , y 2 ) gelten folgende Additions- und Multiplikationsregeln:

( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) : = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) : = ( x 1 x 2 - y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 )

Man bezeichnet die Menge der komplexen Zahlen als . Sie bildet zusammen mit den Additions- und Multiplikationsregeln einen Körper. Die Körpereigenschaften von sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Seien z , z 1 , z 2 , z 3 :

Tab.1
Rechenregeln für komplexe Zahlen
Abgeschlossenheit z 1 + z 2 , z 1 z 2
Kommutativität der Addition z 1 + z 2 = z 2 + z 1
Assoziativität der Addition ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 )
Nullelement z + 0 = z , z 0 = 0
Inverses Element bezüglich der Addition z + ( - z ) = ( - z ) + z = 0
Inverses Element bezüglich der Multiplikation z 1 z = 1 z z = 1 , z 0
Kommutativität der Multiplikation z 1 z 2 = z 2 z 1
Assoziativität der Multiplikation ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 )
Einselement z 1 = z
Distributivgesetz z 1 ( z 2 + z 3 ) = ( z 1 z 2 ) + ( z 1 z 3 )

Das Nullelement 0 ist das Paar

0 : = ( 0 , 0 ) .

Das Einselement 1 ist das Paar

1 : = ( 1 , 0 ) .

Das inverse Element von z = ( x , y ) bezüglich der Addition ist das Paar

- z : = ( - x , - y ) .

Das inverse Element von z = ( x , y ) bezüglich der Multiplikation ist ein Paar z -1 = ( x ' , y ' ) , das

( x , y ) ( x ' , y ' ) = ( x x ' - y y ' , x y ' + y x ' ) = ( 1 , 0 )

erfüllt. Dies ist ein lineares Gleichungssystem für x ' , y ' :

x x ' - y y ' = 1 x y ' + y x ' = 0

mit der Lösung

z -1 = ( x ' , y ' ) = x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2 .

Paare ( x , y ) mit y = 0 verhalten sich wie reelle Zahlen hinsichtlich Addition und Multiplikation:

( x 1 , 0 ) + ( x 2 , 0 ) : = ( x 1 + x 2 , 0 ) ( x 1 , 0 ) ( x 2 , 0 ) : = ( x 1 x 2 , 0 )

Folglich lässt sich ein Paar ( x , 0 ) als x bezeichnen. Die reelle Zahl x entspricht daher der komplexen Zahl ( x , 0 ) .

Das Paar ( 0 , 1 ) erfüllt

( 0 , 1 ) 2 = ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) = ( -1 , 0 ) = -1

Bezeichnet man ( 0 , 1 ) als i , so kann als

i 2 = -1

und damit ein allgemeines Paar ( x , y ) wie folgt ausgedrückt werden:

( x , y ) = ( x , 0 ) + ( 0 , y ) = ( x , 0 ) + ( 0 , 1 ) ( y , 0 ) = x + i y .

Für eine komplexe Zahl z = ( x , y ) ergibt sich daraus die praktische Bezeichnung:

z = x + i y x , y .

x nennt man den Realteil und y den Imaginärteil von z .

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