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Einführung in die komplexen Zahlen

Konjugiert komplexe Funktionen

Konjugiert komplexe Funktion
Gegeben sei eine komplexe Funktion f . Die zu f konjugiert komplexe Funktion f * ist definiert als
f * ( z * ) = ( f ( z ) ) * .
Beispiel

Sei f ( z ) = a z 2 + b z + c mit a , b , c komplex. Dann ist

( f ( z ) ) * = ( a z 2 + b z + c ) * = a * ( z * ) 2 + b * z * + c * = f * ( z * ) .

Folglich erhält man

f * ( z ) = a * z 2 + b * z + c * .

Nun betrachten wir eine quadratische Gleichung der Form

f ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 ( a 0 )

mit a , b , c reell. Folglich ist

f ( z ) = a z 2 + b z + c f * ( z * ) = a ( z * ) 2 + b z * + c

und somit ist z * auch eine Lösung von f ( z ) = 0 . Gleichung hat zwei reelle Lösungen

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a und x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

falls b 2 - 4 a c > 0 ist und nur eine reelle Lösung falls b 2 - 4 a c = 0 . Falls b 2 - 4 a c < 0 sind die Lösungen von komplex, und zwar zueinander konjugiert komplexe Zahlen:

z 1 = - b + i - ( b 2 - 4 a c ) 2 a und z 2 = - b - i - ( b 2 - 4 a c ) 2 a = z 1 * .
Beispiel

Man löse

1 - i 1 + i = x + i y .

Wir ermitteln x und y durch Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Nenner:

1 - i 1 + i 1 - i 1 - i = 1 - 1 + i ( -1 - 1 ) 1 + 1 = - i

Der Vergleich von reellen und imaginären Teilen beider Seiten ergibt x = 0 und y = -1 .

Da - i die Definitionsgleichung i 2 : = 1 genauso erfüllt wie + i , ist zu vermuten, dass Gleichung auch dann gilt, wenn i durch - i ersetzt wird, wir also zur konjugiert komplexen Gleichung übergehen:

1 + i 1 - i = x - i y .

Durch Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Nenner erhalten wir

1 + i 1 - i 1 + i 1 + i = 1 + 2 i - 1 2 = i ,

d.h. es gilt x = 0 und y = -1 .

Allgemein gilt: Gleichungen mit komplexen Zahlen bleiben auch dann gültig, wenn i durch - i (oder alternativ - i durch i ) ersetzt wird.

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