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Einführung in die komplexen Zahlen

Betrag einer komplexen Zahl

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind zwei Dinge, die getrennt zu betrachten sind. Es leuchtet dennoch ein, dass die folgenden komplexen Zahlen irgendwie verschiedene „Größe” besitzen:

1 + i 10 + i 1 + i 10 10 + i 10 .

Ein Maß ist der Betrag oder Modul einer komplexen Zahl. Wir erhalten ihn als Sonderfall der Multiplikation von z = x + i y mit der konjugiert komplexen Zahl z * :

z z * = ( x + i y ) ( x - i y ) = ( x 2 + y 2 ) + i ( y x - x y ) = x 2 + y 2 .
Betrag einer komplexen Zahl
Sei z = x + i y eine komplexe Zahl. Der Betrag von z ist die reelle Zahl
| z | : = x 2 +y 2 = z z * 0.
Beispiel
| 1 + i | = 1 2 +1 2 = 2 | 10 + i | = 10 2 +1 2 = 101 .

Es gilt

( 1 ) | z * | = | z | , ( 2 ) | Re ( z ) | | z | , | Im ( z ) | | z | .

Für den Betrag | z | eines Produktes z = z 1 z 2 gilt

| z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | ,

d.h. der Betrag eines Produktes ist das Produkt der Beträge. Dieses Ergebnis folgt aus

| z | 2 = | z 1 z 2 | 2 = ( z 1 z 2 ) ( z 1 z 2 ) * = ( z 1 z 1 * ) ( z 2 z 2 * ) = | z 1 | 2 | z 2 | 2 .

und somit ist

| z | = | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | .
Beispiel
| ( 1 + i 3 ) ( 2 - i ) | = | 1 + i 3 | | 2 - i | = ( 10 ) ( 5 ) = 50 ,

wie man nachweisen kann:

| ( 1 + i 3 ) ( 2 - i ) | = | 5 + i 5 | = 50 .

Für den Betrag | z | einer Summe z = z 1 + z 2 gilt die Dreiecksungleichung

| z 1 + z 2 | | z 1 | + | z 2 | .

Es folgt aus

| z 1 + z 2 | 2 = ( z 1 + z 2 ) ( z 1 + z 2 ) * = z 1 z 1 * + z 2 z 2 * + z 1 z 2 * + z 1 * z 2 = z 1 z 1 * + z 2 z 2 * + z 1 z 2 * + ( z 1 z 2 * ) * = | z 1 | 2 + | z 2 | 2 + 2 Re ( z 1 z 2 * ) | z 1 | 2 + | z 2 | 2 + 2 | z 1 z 2 * | .

Nun ist

| z 1 | 2 + | z 2 | 2 + 2 | z 1 z 2 * | = | z 1 | 2 + | z 2 | 2 + 2 | z 1 | | z 2 | = ( | z 1 | + | z 2 | ) 2

und somit folgt das Ergebnis

| z 1 + z 2 | 2 ( | z 1 | + | z 2 | ) 2 | z 1 + z 2 | | z 1 | + | z 2 | .
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