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Einführung in die komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen

Interessant wird es, wenn wir z.B. 3 zu 4 i addieren wollen. Wir können hier nichts anderes tun, als dafür 3 + 4 i zu schreiben, da wir die reelle und die imaginäre Zahlenwelt nicht miteinander mischen dürfen. Genau so wie 3 Äpfel und 4 Birnen eben 3 Äpfel und 4 Birnen sind und nicht 7 Äpfel oder 7 Birnen oder 7 (Äpfel+ Birnen).

Das Zahlengebilde 3 + 4 i ist nur ein Beispiel für eine neue Art von Zahlen der allgemeinen Form z = x + i y , die als komplexe Zahlen bezeichnet werden. Wir schreiben und definieren:

Komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl ist das Zahlengebilde z = x + i y , wobei x , y reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ( i 2 = -1 ) sind. x = Re ( z ) ist der Realteil und y = Im ( z ) ist der Imaginärteil von z .

Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet man als . Ist Re ( z ) = 0 , so heißt z rein imaginär.

Komplexe Zahlen erscheinen auf den ersten Blick als ziemlich abstrakte Konstrukte für den Mathematiker, ihre Nützlichkeit für den Chemiker ist nicht ohne weiteres erkennbar. Sie wird erst sichtbar werden, nachdem wir uns mit den Eigenschaften der komplexen Zahlen beschäftigt haben.

Algebra komplexer Zahlen

Die Algebra komplexer Zahlen wird so durchgeführt, dass

  1. die Regeln der reellen Zahlen befolgt,
  2. mehrfache Produkte der imaginären Einheit auf eine reelle oder imaginäre Zahl zurückgeführt,
  3. alle reellen bzw. imaginären Zahlen zusammengefasst werden.

Potenzen der imaginären Einheit

i 1 = i ; i 2 = - 1 ; i 3 = - i ; i 4 = i 2 i 2 = 1 ; i 5 = i i 4 = i ;

und

i 0 = i i = 1 i - 1 = i i 2 = - i ; i - 2 = 1 i 2 = - 1 ; i - 3 = i i 4 = i i - 4 = 1 i 4 = 1 ; i - 5 = i - 1 i - 4 = - i ;

Wir beginnen mit zwei komplexen Zahlen z 1 und z 2 in der allgemeinen Form z 1 = x 1 + i y 1 und z 2 = x 2 + i y 2 .

Gleichheit

z 1 = z 2 wenn Re ( z 1 ) = Re ( z 2 ) , x 1 = x 2 und Im ( z 1 ) = Im ( z 2 ) , y 1 = y 2 .

Addition und Subtraktion

Die Summen- bzw. Differenzbildung erfolgt komponentenweise wie bei zweidimensionalen Vektoren, wobei den Komponenten die Real- und Imaginärteile entsprechen:

z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + y 2 )

und

z 1 - z 2 = ( x 1 - x 2 ) + i ( y 1 - y 2 ) .
Beispiel
( 3 + 4 i ) + ( 2 - 6 i ) = ( 3 + 2 ) + ( 4 - 6 ) i = 5 - 2 i .
( 1 - i ) - ( 2 + i ) = ( 1 - 2 ) + ( -1 - 1 ) i = -1 - 2 i .

Addition ist kommutativ:

z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .

Ebenso gilt das assoziative Gesetz der Addition:

( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) .

Multiplikation

Man multipliziert das Produkt gliedweise aus und beachtet dabei die Beziehung i 2 = -1 :

z 1 z 2 = ( x 1 + i y 1 ) ( x 2 + i y 2 ) = x 1 x 2 + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + i 2 y 1 y 2 = ( x 1 x 2 - y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) .
Beispiel
( 2 + i ) ( 3 + 4 i ) = 2 3 + 2 4 i + 3 i + 4 i 2 = 6 + 8 i + 3 i - 4 = 2 + 11 i .

Multiplikation ist kommutativ:

z 1 z 2 = z 2 z 1 .

Ebenso gilt das assoziative Gesetz der Multiplikation:

( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) .

Außerdem gilt das distributive Gesetz für Addition und Multiplikation (Klammerauflösung):

z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 .

Division

Der Quotient zweier komplexer Zahlen wird laut der folgenden Regel gebildet

z 1 z 2 = x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 , z 2 0

und wird auf der nächsten Seite erläutert.

Ungleichungen

Bei den reellen Zahlen gilt stets

x 2 0 x .

In der Menge der komplexen Zahlen hingegen gilt solch eine Eigenschaft nicht. Für i , 1 sind die zwei Bedingungen i 2 = -1 > 0 und 1 2 = 1 > 0 nicht gleichzeitig zu erfüllen. Daher ist eine Ordnung auf und somit Ungleichungen nicht möglich.

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