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Einführung in die komplexen Zahlen

Die imaginäre Einheit

Für jede reelle Zahl x gilt

x 2 0 .

Angenommen wir sollen ein x finden, dass folgender Gleichung genügt:

x 2 = - 1 .

Wegen Gleichung (1) gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist. Also was für eine Zahl ist es dann, die Gleichung (2) erfüllt? Auf jeden Fall können wir ihr einen Namen geben, auch wenn wir noch keine Ahnung haben, um was für eine Zahl es sich handelt. Also definieren wir eine Größe namens i (die imaginäre Einheit), die die Eigenschaft besitzt, dass ihr Quadrat gleich -1 ist

i 2 : = - 1 .

Ebenso wie wir Äpfel zählen können, z.B. drei Äpfel, können wir für i + i + i kürzer 3 i schreiben. Genauso geht es mit der Multiplikation, 4 3 i ist 12 i , oder der Division, d.h. i geteilt durch 10 ist i / 10 und die Summe mit i ergibt i + i / 10 = 1,1 i . Alle diese Gebilde haben die allgemeine Form a i , wobei a eine beliebige reelle Zahl ( 3 , 4 / 5 oder e , π ) ist und i die imaginäre Einheit darstellt. Wir bezeichnen diese Gebilde als imaginäre Zahlen. Mit ihnen lässt sich eine imaginäre Algebra aufbauen, die genau jener der reellen Zahlen entspricht, wenn alle Summanden ein i , alle Faktoren und Divisoren aber kein i enthalten.

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