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Ungleichungen

Die Bernoulli´sche Ungleichung

Eine wichtige Ungleichung ist die Bernoulli-Ungleichung

( 1 + a ) n 1 + n a für n 1 , a > -1

Wir beweisen die Vermutung mit dem Prinzip der vollständigen Induktion.

  1. Induktionsanfang. A ( 1 ) gilt, da 1 + a 1 + a .
  2. Induktionsschritt. Wir versuchen, die Implikation ( 1 + a ) k 1 ( 1 + a ) k +1 1 k 1 festzustellen. ( 1 + a ) k +1 = ( 1 + a ) k ( 1 + a ) ( 1 + a ) k +1 ( 1 + k a ) ( 1 + a ) ( 1 + a ) k +1 1 + ( k +1 ) a + k a 2 ( 1 + a ) k +1 1 + ( k +1 ) a Wenn a < -1 ist, ist ( 1 + a ) negativ und die Argumentation wird hier falsch.
  3. Induktionsschluss. Folglich ist die Aussage ( 1 + a ) n 1 + n a für n 1 , a > -1 bewiesen.
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