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Ungleichungen

Ungleichungen

Aus den Anordnungsaxiomen der reellen Zahlen folgen die folgenden Rechenregeln für Ungleichungen. Seien a , b , c , d :

  • Addition von Ungleichungen a b und c d a + c b + d
  • Addition einer Zahl a b a + c b + c
  • Multiplikation mit einer positiven Zahl a b und c > 0 a c b c
  • Multiplikation mit einer negativen Zahl a b und c < 0 a c b c d.h. nach der Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt sich die Ungleichung um.
  • 0 < a b 0 < 1 b 1 a
  • a b 0 ( a 0 und b 0 ) oder ( a 0 und b 0 )
  • a b 0 ( a 0 und b 0 ) oder ( a 0 und b 0 )

Außerdem gelten:

  • Für jede reelle Zahl a ist a 2 0
  • 1 > 0

und

  • | a | b - b a b .

Bei Ungleichungen, in denen Variablen vorkommen, isoliert man die Variablen durch Anwendung dieser Regeln.

Beispiel

Die Ungleichung einer Variablen

x -3 < 2 ( x -1 )

ist zu lösen. Anders als bei der Lösung einer Gleichung einer Variablen ist die Lösung einer Ungleichung eine Menge von reellen Zahlen, d.h. ein Intervall oder mehrere disjunkte Intervalle. Durch Anwendungen der Rechenregeln für Ungleichungen isoliert man die Variable x :

x -3 < 2 x - 2 + ( 3 ) : x < 2 x + 1 + ( -2 x ) : - x < 1 × ( -1 ) : x > -1

Also ist

x -3 < 2 ( x -1 ) x > -1 .

Somit ist ( -1 , ) die Menge der reellen Zahlen, die die Ausgangsungleichung erfüllt (Lösungsmenge).

Als Alternative zur gezeigten algebraischen Methode lässt sich die Ungleichung geometrisch lösen. Definiert man zwei Funktionen

g ( x ) = x -3 und f ( x ) = 2 ( x -1 ) ,

lässt sich die Ungleichung wie folgt ausdrücken

g ( x ) < f ( x ) oder f ( x ) - g ( x ) > 0 ,

d.h. die Lösungsmenge (Intervalle auf der reellen Zahlengerade) ist die Menge der reellen Zahlen, für die die Funktion f ( x ) - g ( x ) positiv ist oder alle x -Werte, für die die Kurve von f ( x ) oberhalb der Kurve von g ( x ) liegt. Man identifiziert einen Endpunkt des Lösungsintervalls als die x -Koordinate des Schnittpunktes der Funktionen g ( x ) und f ( x ) , in diesem Fall ist der Endpunkt x = -1 . In der folgenden Abbildung stellt der schattierte Bereich die Lösungsmenge x > -1 dar:

Abb.1
Geometrische Lösung von x -3 < 2 ( x -1 )
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