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Eigenschaften der reellen Zahlen

Die natürliche Basis

Aus der Gleichung

b 1 / n n = b 1 / n b 1 / n b 1 / n n Faktoren = b 1 = b .

ergibt sich eine interessante Fragestellung. Da b 0 = 1 unabhängig von b , welchen Wert hat dann b 1 / n für große Werte von n (in diesem Fall nähert sich 1 / n Null an). Für n = 1000 erhalten wir mit einem Taschenrechner für verschiedene Werte b :

b 0,001 1 + a 0,001

Mit kleiner werdenden Werten für den Exponent 1 / n wird diese Gleichung immer genauer. Die Konstante a hängt vom Wert der Basis b ab. Für n = 1000 nimmt sie die folgenden Werte an:

Tab.1
Die Konstante a hängt vom Wert der Basis b ab
b 10 8 6 4 2
a 2,3052 2,0816 1,3873 1,0992 0,6934

Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass es einen zwischen 2 und 4 liegenden Wert von b gibt, für den a den Wert 1 annimmt! Diese spezielle Zahl wird die natürliche Basis oder Euler´sche Zahl genannt und mit dem Buchstaben e bezeichnet. Es ergibt sich

e 1 / n 1 + 1 n für 0 < 1 n 1.

Diese Gleichung bleibt gültig, wenn beide Seiten n mal mit sich selbst multipliziert werden

e 1 / n n = e n / n = e 1 = e 1 + 1 / n n ,

sodass

e = lim n 1 + 1 / n n .

Zur Größenabschätzung kann man mit einem Taschenrechner oder durch ein kurzes Computerprogramm den Wert von e für verschiedene Werte von n berechnen:

Tab.2
Wert von e für verschiedene Werte von n
n 10 100 1000 10000
( 1 + 1 / n ) n 2,59374 2,70481 2,71692 2,71815

Der Grenzwert für große n ist

e = 2,71828183 (gerundet).
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