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Eigenschaften der reellen Zahlen

Wurzeln und Potenzen reeller Zahlen

Das Produkt von n gleichen reellen Zahlen a definieren wir für eine kürzere Schreibweise wie folgt:

a a a a : = a n .

Die Zahl n nennt man den Exponent und a die Basis. Für a 0 setzt man

1 a 1 a 1 a 1 a : = a - n .

Für jede ganze Zahl k und reelle Zahl a , a 0 ist die k -te Potenz a k eine wohldefinierte Zahl. Die folgenden Rechenregeln gelten:

a k a l = a k + l ( a k ) l = a k l a k a l = a k - l ( a b ) k = a k b k a b k = a k b k
Beispiel
( 3 3 3 ) ( 3 3 ) = 3 3 3 2 = 3 5 .

Insbesondere ist laut der dritten Regel

1 = a n a n = a n - n = a 0

und daraus folgt allgemein:

Theorem
Die 0 . Potenz jeder beliebigen Basis a ist gleich 1 .

Nun definieren wir die Wurzel aus einer Zahl.

Theorem
Sei b + eine positive reelle Zahl und n . Dann existiert genau eine positive reelle Zahl a + mit a n = b .

a : = b n heißt die n -te Wurzel aus b .

Die Gleichung a n = b hat für gerade n zwei reelle Lösungen:

a 1 = b n und a 2 = - b n .

Für ungerade n existiert genau eine Lösung:

a = b n .

Die Gleichung a n = b ist i. Allg. in nicht lösbar, z.B. a 2 = 2 hat die irrationale Lösung a = ± 2 .

Betrachten wir nun, was passiert, wenn wir den Zahlenbereich, aus dem wir den Exponenten wählen, erweitern.

Potenz mit rationalem Exponent
Sei a + eine positive reelle Zahl und q eine rationale Zahl mit der Darstellung q = m n , m , n . Dann sei
a q : = ( a n ) m .

Also ist

a m n = ( a n ) m = ( a 1 n ) m = ( a m ) 1 n = a m n .

Die Rechenregeln gelten.

Beispiel

Vereinfache

y = x - 1 5 x 2 3 6 x x 5 2 x 2 5 .

Durch Anwendung der Regeln erhält man

y = x - 1 5 x 12 3 x 1 x 5 2 x 2 5 = x - 1 5 x 4 x -1 x - 5 2 x - 2 5 = x - 1 10 .

Potenzen für reelle Exponenten sind auch definiert, wobei in der Praxis ein reeller Exponent durch einen rationalen Exponent angenährt wird.

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