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Eigenschaften der reellen Zahlen

Absolutbetrag einer reellen Zahl

Der Absolutbetrag oder Betrag von a wird definiert durch

| a | = a falls a + ( a positiv ) | a | = - a falls a - ( a negativ ) | a | = 0 falls a = 0

z.B. | 3 | = 3 , | -1 | = 1 , | 0 | = 0 .

Geometrisch gesehen ist a der Abstand der Zahl a auf der Zahlengeraden vom Nullpunkt.

Abb.1
Graph der Funktion y = | x |

Es gilt

- | a | a | a |

und für zwei beliebige reelle Zahlen a , b gelten:

| a ± b | = | b ± a | | a b | = | a | | b | a b = | a | | b | .

Dreiecksungleichungen

Seien a , b . Dann gilt:

| a + b | | a | + | b | | a + b | | a | - | b | | a - b | | a | + | b | | a - b | | a | - | b | .
Beispiel

Zeige die Gültigkeit der Dreiecksungleichungen für das Paar a = 1 , b = 2 :

| 1 + 2 | 1 + 2 3 3 | 1 + 2 | 1 - 2 3 -1 | 1 - 2 | 1 + 2 1 3 | 1 - 2 | 1 - 2 1 -1 .
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