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Eigenschaften der reellen Zahlen

Intervalle

Seien a , b mit a < b :

Offenes Intervall
Die Menge aller Zahlen zwischen a und b ohne a und b nennt man das offene Intervall von a und b .

Seien a , b mit a b :

Abgeschlossenes Intervall
Die Menge aller Zahlen zwischen a und b zusammen mit a und b nennt man das abgeschlossene Intervall von a und b .

Die Punkte a und b heißen die Endpunkte des Intervalls.

Für a b , a , b sei

[ a , b ] : = { x | a x b } abgeschlossenes Intervall [ a , b ) : = { x | a x < b } halboffenes Intervall ( a , b ] : = { x | a < x b } halboffenes Intervall ( a , b ) : = { x | a < x < b } offenes Intervall .

Unendliche Intervalle:

[ a , ) : = { x | a x } ( a , ) : = { x | a < x } ( - , a ) : = { x | x < a } ( - , a ] : = { x | x a } .
Beispiel

Das offene Intervall -2 < x < 4 ist die Teilmenge X der reellen Zahlen, deren Elemente größer als -2 und kleiner als 4 sind. Man schreibt X = ( -2 , 4 ) .

Das unendliche Intervall x 1 ist die Teilmenge X der reellen Zahlen, deren Elemente größer als oder gleich 1 sind. Man schreibt X = [ 1 , ) .

Das offene Intervall | x - 2 | < 1 ist die Teilmenge X der reellen Zahlen, deren Elemente einen Abstand von 2 kleiner als 1 haben, d.h. das offene Intervall X = ( 1 , 3 ) .

Unten folgen weitere Definitionen, die in der Stetigkeitsanalyse von Funktionen von Nutzen sind.

Delta-Umgebung
Sei a , δ und δ > 0 . Die δ -Umgebung von a ist das offene Intervall a - δ < x < a + δ .

Die δ -Umgebung ( a - δ , a + δ ) von a besteht aus allen Punkten, deren Abstand von a kleiner als δ ist. Sie ist durch die Ungleichung | x - a | < δ definiert.

Punktierte Delta-Umgebung
Sei a , δ und δ > 0 . Die punktierte δ -Umgebung von a besteht aus den offenen Intervallen a - δ < x < a und a < x < a + δ .

Die punktierte δ -Umgebung von a ist durch die Ungleichung | x - a | < δ mit der Bedingung x a definiert, d.h. sie ist gleich der δ -Umgebung von a mit Ausnahme des Punktes a . Man beachte die folgenden äquivalenten Darstellungen der punktierten δ -Umgebung von a :

( a - δ , a ) ( a , a + δ ) = ( a - δ , a + δ ) { a } .
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