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Vollständigkeit der reellen Zahlen

Vollständigkeit der reellen Zahlen

Die Rechenregeln und Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen gelten auch bei den rationalen Zahlen , d.h. bildet einen angeordneten Körper. besitzt aber eine Eigenschaft, die nicht hat, nämlich die Vollständigkeit oder Lückenlosigkeit.

Sei X eine nichtleere Teilmenge von , d.h. A und A .

Obere Schranke
X heißt von oben beschränkt, falls eine Zahl M existiert, sodass x M für alle x X gilt. M heißt obere Schranke von X .
Untere Schranke
X heißt von unten beschränkt, falls eine Zahl m existiert, so dass x m für alle x X gilt. m heißt untere Schranke von X .

X heißt beschränkt, falls sie sowohl von unten als auch von oben beschränkt ist. M und m müssen nicht unbedingt Elemente von X sein.

Supremum
Eine Zahl M 0 heißt Supremum von X ( M 0 = sup X ), falls sie die kleinste obere Schranke von X ist.
Infimum
Eine Zahl m 0 heißt Infimum von X ( m 0 = inf X ), falls sie die größte untere Schranke von X ist.

Aus der Vollständigkeitseigenschaft der reellen Zahlen folgt folgender Satz:

Theorem
Für alle nichtleeren X und X von oben beschränkt, existiert sup X . Für alle nichtleeren X und X von unten beschränkt, existiert inf X .

Falls M 0 = sup X X schreibt man M 0 = max X Maximum von X .

Falls m 0 = inf X X schreibt man m 0 = min X Minimum von X .

Ein analoger Satz für die rationalen Zahlen existiert nicht.

Beispiel

Die Menge X = { x | x rationale Zahl , x < 2 } ist nicht leer und von oben beschränkt, z.B. M = 2 ist eine obere Schranke von X . Trotzdem besitzt X kein Supremum.

Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen, angeordneten Körper.

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