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Reelle Zahlen

Algebraische und transzendente Zahlen

Gegegeben sei eine algebraische Gleichung n-ten Grades der Form

a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x + a 0 = 0 ( a n 0 ) ,

worin die Koeffizienten a n , a n -1 , , a 1 , a 0 ganze Zahlen sind. Dann heißt irgendeine Lösung x (reell oder komplex) von eine algebraische Zahl.

Beispiel

2 ist eine algebraische Zahl, da sie der algebraischen Gleichung

x 2 - 2 = 0

genügt.

Cantor bewies, dass die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist. Andererseits ist die Menge der reellen Zahlen unabzählbar. Diese Tatsache führt auf die Existenz reeller Zahlen, die nicht algebraisch sind. Solche Zahlen nennt man transzendente Zahlen, da sie „die Wirksamkeit algebraischer Methoden transzendieren” (Euler). Zum Beispiel sind die Zahlen e und π transzendent.

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