Reelle Zahlen
Dezimalbrüche und irrationale Zahlen
Ist eine Zahl in der Bruchform darstellbar, dann lässt sie sich als ein so genannter Dezimalbruch mit einer endlichen Anzahl von Dezimalstellen darstellen:
- Beispiel
Andererseits führt die rationale Zahl auf einen unendlichen Dezimalbruch , da nicht Teiler einer Potenz von ist. Die Ziffernfolge ist zwar unendlich aber periodisch.
- Theorem
- Für ein rationales wird die Ziffernfolge in der Dezimaldarstellung immer periodisch.
Bei Durchführung der elementaren Verfahren der Division tritt ein Rest zwischen und auf, d.h. es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Werte des Restes. Nach höchstens Divisionen muss ein gewisser Rest nochmal erscheinen, aber dann werden sich alle weiteren Reste in derselben Reihenfolge wiederholen.
- Beispiel
Die einzelnen Ziffern der Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl lassen sich durch eine explizite Formel berechnen. Übrigens interpretiert man 1,213 als 0-periodisch, d.h. 1,213 = 1,213000....... Umgekehrt lässt sich zeigen, dass periodische Dezimalbrüche immer rationale Zahlen liefern.
- Beispiel
Das Glied im Klammern ist eine unendliche geometrische Reihe
und folglich ist
Dagegen liefern nicht-periodische unendliche Dezimalbrüche irrationale Zahlen:
- Beispiel
Es gibt keine explizite Formel, die die aufeinander folgenden Ziffern einer irrationalen Zahl bestimmt.
Nach diesen Überlegungen können wir versuchsweise eine reelle Zahl definieren:
- Reelle Zahl
- Eine reelle Zahl ist ein endlicher oder unendlicher Dezimalbruch.