Dezimalbrüche und irrationale Zahlen

Ist eine Zahl $\mathit{x}$ in der Bruchform $\mathit{x}=\mathit{p}/{10}^{\mathit{n}},\mathit{p}\in \mathbb{Z},\mathit{n}\in \mathbb{N}$ darstellbar, dann lässt sie sich als ein so genannter Dezimalbruch mit einer endlichen Anzahl $\mathit{n}$ von Dezimalstellen darstellen:

$$\mathit{x}=\mathit{m}+\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{r}}_{\mathit{k}}{10}^{-\mathit{k}},\mathit{m}\in \mathbb{Z}.$$

Beispiel

$$1,213=1+\frac{2}{10}+\frac{1}{100}+\frac{3}{1000}=\frac{1213}{1000}$$

Andererseits führt die rationale Zahl $\mathit{x}=1/3$ auf einen unendlichen Dezimalbruch $0,333\dots$, da $3$ nicht Teiler einer Potenz von $10$ ist. Die Ziffernfolge ist zwar unendlich aber periodisch.

Theorem

Für ein rationales $\mathit{x}=\mathit{p}/\mathit{q}\in \mathbb{Q}$ wird die Ziffernfolge $\mathit{x}=\mathit{m},{\mathit{r}}_1{\mathit{r}}_2{\mathit{r}}_3\dots$ in der Dezimaldarstellung immer periodisch.

Bei Durchführung der elementaren Verfahren der Division tritt ein Rest zwischen $1$ und $\mathit{q}-1$ auf, d.h. es gibt $\mathit{q}-1$ verschiedene Möglichkeiten für die Werte des Restes. Nach höchstens $\mathit{q}$ Divisionen muss ein gewisser Rest $\mathit{k}$ nochmal erscheinen, aber dann werden sich alle weiteren Reste in derselben Reihenfolge wiederholen.

Beispiel

$$\frac{1}{7}=0,14285714285714285714285714285714\dots$$

Die einzelnen Ziffern der Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl lassen sich durch eine explizite Formel berechnen. Übrigens interpretiert man 1,213 als 0-periodisch, d.h. 1,213 = 1,213000....... Umgekehrt lässt sich zeigen, dass periodische Dezimalbrüche immer rationale Zahlen liefern.

Beispiel

$$0,333\dots =0,3+0,03+0,003+\dots =3\cdot ({10}^{-1}+{10}^{-2}+{10}^{-3}+\dots )$$

Das Glied im Klammern ist eine unendliche geometrische Reihe

$${10}^{-1}+{10}^{-2}+{10}^{-3}+\dots =\frac{1}{1-{10}^{-1}}-1=\frac{1}{9}$$

und folglich ist

$$0,333\dots =3\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}.$$

Dagegen liefern nicht-periodische unendliche Dezimalbrüche irrationale Zahlen:

Beispiel

$$\sqrt{2}=1,414213562373095048801688724209\dots$$

Es gibt keine explizite Formel, die die aufeinander folgenden Ziffern einer irrationalen Zahl bestimmt.

Nach diesen Überlegungen können wir versuchsweise eine reelle Zahl definieren:

Reelle Zahl

Eine reelle Zahl ist ein endlicher oder unendlicher Dezimalbruch.