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Reelle Zahlen

Dezimalbrüche und irrationale Zahlen

Ist eine Zahl x in der Bruchform x = p / 10 n , p , n darstellbar, dann lässt sie sich als ein so genannter Dezimalbruch mit einer endlichen Anzahl n von Dezimalstellen darstellen:

x = m + k = 1 n r k 10 - k , m .
Beispiel
1 , 213 = 1 + 2 10 + 1 100 + 3 1000 = 1213 1000

Andererseits führt die rationale Zahl x = 1 / 3 auf einen unendlichen Dezimalbruch 0 , 333 , da 3 nicht Teiler einer Potenz von 10 ist. Die Ziffernfolge ist zwar unendlich aber periodisch.

Theorem
Für ein rationales x = p / q wird die Ziffernfolge x = m , r 1 r 2 r 3 in der Dezimaldarstellung immer periodisch.

Bei Durchführung der elementaren Verfahren der Division tritt ein Rest zwischen 1 und q -1 auf, d.h. es gibt q - 1 verschiedene Möglichkeiten für die Werte des Restes. Nach höchstens q Divisionen muss ein gewisser Rest k nochmal erscheinen, aber dann werden sich alle weiteren Reste in derselben Reihenfolge wiederholen.

Beispiel
1 7 = 0 , 14285714285714285714285714285714

Die einzelnen Ziffern der Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl lassen sich durch eine explizite Formel berechnen. Übrigens interpretiert man 1,213 als 0-periodisch, d.h. 1,213 = 1,213000....... Umgekehrt lässt sich zeigen, dass periodische Dezimalbrüche immer rationale Zahlen liefern.

Beispiel
0 , 333 = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + = 3 ( 10 -1 + 10 -2 + 10 -3 + )

Das Glied im Klammern ist eine unendliche geometrische Reihe

10 -1 + 10 -2 + 10 -3 + = 1 1 - 10 -1 - 1 = 1 9

und folglich ist

0 , 333 = 3 1 9 = 1 3 .

Dagegen liefern nicht-periodische unendliche Dezimalbrüche irrationale Zahlen:

Beispiel
2 = 1 , 414213562373095048801688724209

Es gibt keine explizite Formel, die die aufeinander folgenden Ziffern einer irrationalen Zahl bestimmt.

Nach diesen Überlegungen können wir versuchsweise eine reelle Zahl definieren:

Reelle Zahl
Eine reelle Zahl ist ein endlicher oder unendlicher Dezimalbruch.
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