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Reelle Zahlen

Reelle Zahlen

Sind die Längen zweier Strecken durch a und b gegeben, dann sind sie kommensurabel, falls a / b eine rationale Zahl ist. Zur Überraschung der griechischen Mathematiker entdeckten sie Strecken, die inkommensurabel miteinander waren. Zum Beispiel ist die Diagonale eines Quadrates mit seiner Seite inkommensurabel.

Dies führte zur Theorie der irrationalen Zahlen: eine Zahl x , die nicht als Bruch p / q , p , q darstellen lässt, bezeichnet man als irrationale Zahl. Betrachten wir die Gleichung

x n = q n , q + .

Sie ist nicht immer lösbar, wenn man x fordert.

Theorem
Es gibt kein x mit x 2 = 2 , d.h. die Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis

Annahme: Es existiert x mit x 2 = 2 .

x = p q , p , q und p , q teilerfremd

p 2 q 2 = 2 , 2 q 2 = p 2

p 2 ist gerade p ist gerade

p = 2 m , m

p 2 = 4 m 2 = 2 q 2

q 2 = 2 m 2

q ist gerade

p , q sind gerade und haben also einen gemeinsamen Teiler 2 , d.h. x = p q ist nicht teilerfremd - Widerspruch! Also ist 2 keine rationale Zahl.

Folglich erweitern wir die Menge der rationalen Zahlen durch die irrationalen Zahlen, damit z.B. Wurzeln positiver Zahlen q + existieren. Die Gleichung x n = q mit n , q + ist immer lösbar in der Menge der reellen Zahlen .

Die reellen Zahlen sind durch drei Eigenschaften charakterisiert:

  1. Körpereigenschaften, d.h. Rechenregeln bezüglich Addition und Multiplikation der reellen Zahlen.
  2. Anordnungseigenschaften, d.h. Aussagen darüber, ob eine reelle Zahl kleiner oder größer als eine andere ist.
  3. Vollständigkeitseigenschaften, d.h. die Lückenlosigkeit der reellen Zahlen. Diese Eigenschaften unterscheiden die reellen Zahlen von den rationalen Zahlen.

Die Menge der reellen Zahlen ist nichtabzählbar. Sie hat die Mächtigkeit des Kontinuums.

Rechenregeln

Die reellen Zahlen mit der Addition + und der Multiplikation sind ein Körper, ebenso die rationalen Zahlen , aber nicht die ganzen Zahlen (z.B. 2 besitzt kein multiplikativ inverses Element in ).

Die Körpereigenschaften von sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Seien x , y , z :

Tab.1
Rechenregeln für reelle Zahlen
Abgeschlossenheit x + y , x y
Kommutativität der Addition x + y = y + x
Assoziativität der Addition ( x + y ) + z = x + ( y + z )
Nullelement x + 0 = x , x 0 = 0
Inverses Element bezüglich Addition x + ( - x ) = ( - x ) + x = 0
Inverses Element bezüglich Multiplikation x 1 x = 1 x x = 1 , x 0
Kommutativität der Multiplikation x y = y x
Assoziativität der Multiplikation ( x y ) z = x ( y z )
Einselement x 1 = x
Distributivgesetz x ( y + z ) = ( x y ) + ( x z )

Anordnungseigenschaften

Wir bezeichnen + bzw. - als die Mengen von positiven bzw. negativen reellen Zahlen. Die Teilmenge + hat folgende Eigenschaften:

  • Für jede reelle Zahl x gilt entweder x = 0 oder x + oder - x + ( x - ) .
  • Ist x , y + so gilt x + y + und x y + .

Diese Eigenschaften sind die so genannten Anordnungsaxiome.

Man schreibt x < y , nur wenn y - x + , d.h. y - x ist positiv. Anstelle von x < y schreibt man auch y > x . Für x < y oder x = y ( y - x = 0 ) schreibt man x y (kleiner gleich) oder y x (größer gleich).

Die Ordnungsrelation auf hat folgende Monotonieeigenschaften als Folgerungen der Anordnungsaxiome:

  • Aus x y folgt x + z y + z für alle z
  • Aus x y folgt x z y z für alle z +
  • Aus x y folgt x z y z für alle z - ,

Die reellen Zahlen bilden einen angeordneten Körper.

Zahlengerade und Arithmetisierung der Geometrie

Die Zahlengerade dient zur graphischen Darstellung der reellen Zahlen. Jeder reellen Zahl entspricht genau ein Punkt P einer geraden Linie und umgekehrt. Man wählt irgendeinen Punkt der Linie als Nullpunkt ( 0 ) und eine positive Richtung (nach rechts). Die Zahlen x und - x haben dann von 0 die Entfernung | x | Einheiten auf der Zahlengerade, wobei | x | der Absolutbetrag von x ist.

Fermat und Descartes gingen einen Schritt weiter und bezogen jedes geometrische Objekt auf das Zahlensystem durch die Einführung von Koordinaten oder Zahlentripel, z.B. wird ein Punkt P im Raum durch das Zahlentripel ( x , y , z ) dargestellt, wobei x , y , z reelle Zahlen sind.

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