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Teilbarkeit

Teilbarkeit

Teilbarkeit
Seien a , b zwei ganze Zahlen. Die Zahl b teilt die Zahl a oder a ist durch b teilbar, in Zeichen b | a , wenn a als ganzzahliges Vielfaches von b dargestellt werden kann
a = n b , a , b , n

z.B. 2 | 4 , denn es gilt 4 = 2 2 und 3 | -12 , denn es gilt -12 = - 4 3 .

Es gilt folgendes:

  • 1 | a für alle a , d.h. jede Zahl ist durch 1 teilbar.
  • a | a für alle a , a 0 , d.h. jede Zahl außer der 0 ist durch sich selbst teilbar.
  • a | 0 für alle a , a 0 , d.h. die 0 ist durch jede Zahl außer durch sich selbst teilbar.
  • 0 | a für alle a ist nicht definiert, d.h. keine Zahl ist durch 0 teilbar.
  • a | b - a | b , d.h. ist eine Zahl durch a teilbar, dann auch durch - a .
Teiler
Ist eine ganze Zahl a durch b teilbar und ist b > 0 , so heißt b ein Teiler von a .

Die Teiler 1 und | a | sind die trivialen Teiler von a . Die nichttrivialen Teiler von a werden auch echte Teiler oder Faktoren von a genannt, z.B. 10 hat die Teiler 1 , 2 , 5 , 10 und die Faktoren 2 , 5 .

Gemeinsamer Teiler
Seien a , b . Eine Zahl d ist ein gemeinsamer Teiler von a und b , wenn d | a und d | b .

Z.B. ist 3 ein gemeinsamer Teiler von 6 und 9 . Die 1 ist stets gemeinsamer Teiler von beliebigen ganzen Zahlen.

Größter gemeinsamer Teiler
Seien a , b . Eine Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggT) von a und b , wenn
g | a und g | b sowie d : d | a und d | b d | g

d.h. g ist gemeinsamer Teiler von a und b , und wenn d ebenfalls gemeinsamer Teiler von a und b ist, dann ist d auch Teiler von g .

Man bezeichnet den ggT von a und b als ( a , b ) . Dann ist ( 0 , a ) = | a | . Der ggT von 0 und 0 existiert nicht, wir definieren ihn darum als 0 . Zwei Zahlen a , b werden als teilerfremd bezeichnet, wenn ( a , b ) = 1 ist. Zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers dient der Euklidische Algorithmus.

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