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Ganze und rationale Zahlen

Rationale Zahlen

Beim Messen einer Größe, z.B. Volumen oder Zeit wollen wir uns nicht auf die ganzen Zahlen beschränken. Das Volumen eines Gefäßes ist nicht immer genau 200  cm3 . Eine beliebig feinere Unterteilung ist erwünscht. Liegt das Volumen zwischen 200 und 201  cm3 , dann können wir die Maßeinheit von cm3 in z.B. n = 10 gleiche Teile unterteilen, um eine Untereinheit 1 / 10  cm3 zu erhalten, und dann das Volumen genauer als 2003 / 10  cm3 angeben, wobei man 2003 / 10 als Bruch bezeichnet. Liegt allgemein eine Unterteilung in n gleichen Teilen vor, dann können wir eine Größe in der Form m / n mit m angeben. Das Symbol m / n mit n 0 nennt man rationale Zahl.

Ebenso wie die negativen Zahlen eingeführt wurden, um die Subtraktion ganzer Zahlen zu ermöglichen, führt man die rationalen Zahlen ein, um die Division ganzer Zahlen zu ermöglichen. Die Gleichung

n x = m , m , n

ist nicht immer lösbar, wenn man x fordert. Falls m durch n teilbar ist, existiert schon eine Lösung x . Falls n = 0 und m 0 ist, existiert wegen des Axiomes

0 x = 0

keine Lösung.

Durch die Einführung des Bruches m n oder m / n ist die Gleichung n x = m immer lösbar, wenn n 0 ist. Die Menge aller rationalen Zahlen bezeichnet man als :

= { m n | m , n } .

Zwei Brüche q = m / n und q ' = m ' / n ' sind äquivalent, wenn m ' = k m , n ' = k n , k , k 0 ist, d.h. m ' und n ' haben einen gemeinsamen Teiler k :

q = m n = k m k n k , k 0 .

Diese Operation nennt man Kürzung eines Bruches. Wenn kein gemeinsames k , k > 1 existiert, dann sind m ' und n ' teilerfremd. Ebenso kann man einen Bruch erweitern, indem man m und n mit einer beliebigen Zahl k , k 0 multipliziert.

Eine Zahl p / q heißt positiv, wenn es positive Zahlen p ' , q ' mit p / q = p ' / q ' gibt. Die Zahl - p / q heißt dann negativ.

Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar und ist gleichmächtig mit der Menge der natürlichen Zahlen. Für alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 existiert eine eindeutige Abbildung auf die natürlichen Zahlen:

Rationale Zahlen 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 Natürliche Zahlen 1 2 3 4 5 6 7

Also sind alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 abzählbar. Für alle rationalen Zahlen q > 1 existieren eindeutige rationale Zahlen 1 / q , 0 < 1 / q < 1 , die wie oben gezeigt auf die natürlichen Zahlen eindeutig abbilden. Also sind alle rationalen Zahlen > 1 abzählbar. Dieselben Betrachtungen gelten auch für die negativen rationalen Zahlen. Folglich ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar.

Rechenregeln

Seien p , q , r .

Tab.1
Rechenregeln für rationale Zahlen
Abgeschlossenheit p + q , p q
Kommutativität der Addition p + q = q + p
Assoziativität der Addition ( p + q ) + r = p + ( q + r )
Nullelement p + 0 = p , p 0 = 0
Inverses Element bezüglich Addition p + ( - p ) = ( - p ) + p = 0
Inverses Element bezüglich Multiplikation p 1 p = 1 p p = 1 , p 0
Kommutativität der Multiplikation p q = q p
Assoziativität der Multiplikation ( p q ) r = p ( q r )
Einselement p 1 = p
Distributivgesetz p ( q + r ) = ( p q ) + ( p r )

Weiter hat man folgende Multiplikationsregeln für negative Zahlen

( - p ) ( - q ) = p q und ( - p ) q = p ( - q ) = - ( p q ) .

Für die Addition und Multiplikation von Brüchen definiert man Regeln, die die Grundgesetze der Arithmetik (kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetze) beibehalten. Für m , m ' , n , n ' , n , n ' 0 gilt

m n + m ' n ' = m n ' + n m ' n n ' m n m ' n ' = m m ' n n ' .

Zum Beispiel:

1 2 + 2 3 = 1 3 + 2 2 2 3 = 7 6 .
1 3 3 4 = 1 3 3 4 = 3 12 = 1 4 .

Innerhalb des Bereiches der rationalen Zahlen sind die rationalen Operationen der Addition (Subtraktion) und Multiplikation (Division) ausführbar ohne Einschränkung (außer Division durch 0 ) und führen niemals aus diesem Bereich heraus. In der Sprache der Algebra bilden die Operationen der Addition und Multiplikation auf der Menge der rationalen Zahlen einen Körper.

Division durch 0

Laut dem Axiom 0 x = 0 ist die Zahl x durch x = 0 0 gegeben. Das Axiom gilt für alle Zahlen x und folglich gibt es keine eindeutige Zahl x , die 0 0 darstellt. Deswegen bleibt 0 0 undefiniert.

Eine Zahl x = 1 0 (falls sie existiert) genügt 0 x = 1 , aber dies ist unmöglich wegen des Axioms 0 x = 0 und folglich existiert 1 0 nicht.

Lineare Ordnung

Die Regeln für lassen sich auf übertragen. Für alle p , q gilt das Einzigkeitsgesetz, d.h. von den drei folgenden Aussagen wird genau eine wahr

p < q , p = q , p > q .

Außerdem hat die Ordnungsrelation auf folgende Monotonieeigenschaften:

  • Aus p < q folgt p + r < q + r für alle r
  • Aus p < q folgt p r < q r für alle r +
  • Aus p < q folgt p r > q r für alle r - ,

wobei + bzw. - die Mengen von positiven bzw. negativen rationalen Zahlen sind.

m n < m ' n ' falls m n ' < n m ' .

Die Fähigkeit eine Maßeinheit beliebig fein zu unterteilen, lässt sich durch den folgenden Satz ausdrücken:

Theorem
Zwischen zwei rationalen Zahlen p und q liegt noch eine rationale Zahl r .
Beweis

Seien p , q mit der Annahme p < q . Es folgt

p + p < p + q p < p + q 2

und

p + q < q + q p + q 2 < q .

Also p < p + q 2 < q , d.h. p + q 2 liegt zwischen p und q . Nun seien p = m / n und q = m ' / n ' mit m , m ' , n , n ' , n , n ' 0 . Dann ist

p + q 2 = 1 2 m n + m ' n ' = 1 2 m n ' n n ' + m ' n n n ' = m n ' + m ' n 2 n n ' ,

was eine rationale Zahl ist. Also liegt eine rationale Zahl p + q 2 zwischen den rationalen Zahlen p und q .

Stellt man die rationalen Zahlen als Punkte auf einer Geraden dar, so liegen die rationalen Punkte überall dicht beieinander. In jedem beliebigen noch so kleinen Intervall liegen rationale Punkte. Sie beschreiben jedoch das Intervall nicht vollständig. So gibt es Lücken auf der Linie, die sich durch irrationale Zahlen (z.B. 2 , π , e ) beschreiben lassen.

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