zum Directory-modus

Ganze und rationale Zahlen

Ganze Zahlen

„Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, alles übrige ist Menschenwerk”, Leopold Kronecker.

Die Gleichung

n + x = m , m , n .

ist nicht immer lösbar, wenn man x fordert. Es ist nur durchführbar, wenn m n ist. Durch die Einführung der so genannten negativen Zahlen wird dieser Mangel beseitigt. Also erweitern wir die Menge der natürlichen Zahlen durch die neuen (negativen) Zahlen

-1 , -2 , -3 , ,

und somit definiert man die Menge der ganzen Zahlen

{ , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 }.

Eine negative Zahl ist ein inverses Element bezüglich der Addition. Für alle n existiert ein - n , wobei gilt:

- n + n = 0 und - ( - n ) = n .

Wir setzen auch -0 = 0 . Eine ganze Zahl 0 kann nicht positiv und negativ zugleich sein, d.h.

- n = n n = 0.

Die arithmetische Operation m + ( - n ) = m - n nennt man Subtraktion.

Die Mengen der positiven und negativen ganzen Zahlen sind

+ { 1 , 2 , 3 } - { -1 , -2 , -3 } .

Rechenregeln

Seien m , n , p . Man kann alle bekannten Regeln für die natürlichen Zahlen übertragen. Dann gelten für die algebraischen Operationen der Addition + und Multiplikation folgende Regeln:

Tab.1
Rechenregeln für ganze Zahlen
Abgeschlossenheit m + n , m n
Kommutativität der Addition m + n = n + m
Assoziativität der Addition ( m + n ) + p = m + ( n + p )
Nullelement m + 0 = m , m 0 = 0
Inverses Element bezüglich Addition m + ( - m ) = ( - m ) + m = 0
Kommutativität der Multiplikation m n = n m
Assoziativität der Multiplikation ( m n ) p = m ( n p )
Einselement m 1 = m
Distributivgesetz m ( n + p ) = ( m n ) + ( m p )

Weiter hat man folgende Multiplikationsregeln für negative Zahlen

( - n ) ( - m ) = n m und ( - n ) m = n ( - m ) = - ( n m ) .

Die Vorzeichenregeln z.B. ( -1 ) ( -1 ) = 1 sind eine Definition, die man festsetzt, um das Distributivgesetz

m ( n + p ) = ( m n ) + ( m p )

zu erhalten. Setzt man m = -1 , n = 1 , p = -1 , so erhält man

( -1 ) ( 1 - 1 ) = ( -1 ) 1 + ( -1 ) ( -1 ) 0 = -1 + ( -1 ) ( -1 ).

Hätte man ( -1 ) ( -1 ) = -1 gesetzt, würde man 0 = -2 erhalten haben, eine Unmöglichkeit. Die Rechenregeln, welche die negativen ganzen Zahlen betreffen, sind eigentlich nur Definitionen, die die Grundgesetze der Arithmetik (kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetze) beibehalten. Man kann sie nicht beweisen.

In der Sprache der Algebra bilden die Operationen der Addition und Multiplikation auf der Menge der ganzen Zahlen einen kommutativen Ring. Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Operation bildet eine Gruppe.

Lineare Ordnung

Genauso wie bei den natürlichen Zahlen ist die Relation (oder ) auf eine lineare Ordnung. Wir müssen nun die negativen ganzen Zahlen berücksichtigen. Für m , n , p hat man folgende Behauptungen:

m n - n - m m n m + p n + p

und für m n gilt

p m p n falls p positiv p n p m falls p negativ.

Die Menge besitzt kein kleinstes Element.

<Seite 1 von 3