zum Directory-modus

Zahlensysteme

Zahlensysteme

Die gewohnte Darstellung von Zahlen ist das Dezimalsystem. Dafür verwendet man die zehn Symbole 0 , 1 , , 9 , um eine Zahl bis zu beliebiger Größe anzugeben. Betrachten wir als Beispiel die Zahl 1402,12. Diese Schreibweise symbolisiert die folgende Summe:

1402,12 = 1 1000 + 4 100 + 0 10 + 2 1 + 1 0,1 + 2 0,01 = 1 10 3 + 4 10 2 + 0 10 1 + 2 10 0 + 1 10 -1 + 2 10 -2 .

Im Dezimalsystem zerlegen wir also eine Zahl in Potenzen der Basis 10 . Wie häufig eine Potenz von 10 auftritt, geben wir mit der vorgestellten Ziffer 0 , 1 ,... oder 9 an. Die Null symbolisiert dabei, dass die betreffende Zehnerpotenz nicht zur Summe beiträgt. Ohne sie würde also das Stellensystem nicht möglich sein.

Die Summe von Potenzen lässt sich auch mit Stellensystemen bilden, die weniger (z.B. 2 oder 8 ) oder mehr (z.B. 16 ) Ziffernsymbole einschließlich der Null verwenden. Für eine n-adische Darstellung (Basis b mit b , b > 0 ) braucht man b Ziffern

Dualsystem 0 , 1 Oktalsystem 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 Hexadezimalsystem 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F .

Mit dem jeweiligen Ziffernsatz wird hier die Summe der entsprechenden Vielfachen der Potenzen der Basis 2 , 8 bzw. 16 gebildet. Für die Dezimalzahl 943 entstehen so die Summen

943 = 512 + 256 + 128 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 2 9 + 1 2 8 + 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 1 512 + 6 64 + 5 8 + 7 1 = 1 8 3 + 6 8 2 + 5 8 1 + 7 8 0 = 3 256 + 10 16 + 15 1 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 .

Im Dual-, Oktal- bzw. Hexadezimalsystem wird die Dezimalzahl 943 somit durch die folgenden Ziffernfolgen dargestellt:

1110101111 , 1657 bzw. 3 A F .

Das Dualsystem oder Binärsystem dient zur Darstellung von Zahlen in Digitalrechnern. Wie das Beispiel 943 zeigt, nehmen allerdings Dualzahlen schnell eine beträchtliche Länge an. Deswegen gruppiert man sie in je vier Binärstellen (siehe obiges Beispiel), die eine der 16 möglichen Folgen 0000 , 0001 , 0010 , , 1110 , 1111 angeben und für sich genommen den Dezimalzahlen 0 , 1 , 2 , , 14 bzw. 15 entsprechen. Diese 16 Zahlen werden dann als Hexadezimalzahl geschrieben, im Beispiel also 3 A F für 0011 1010 1111 .

Umrechnung

Die Darstellung einer rationalen Zahl x zur Basis b lautet

x = r m b m + + r 2 b 2 + r 1 b 1 + r 0 b 0 + r -1 b -1 + r -2 b -2 + + r - n b - n = k = - n m r k b k

und hat die folgende Stellenwertdarstellung

x = r m r 2 r 1 r 0 , r -1 r -2 r -3 .

Ist eine Zahl x zur Basis b gegeben, dann sind die Ziffern gegeben durch

r k = [ b - k x ] - b [ b - k -1 x ] , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ,

wobei die Gauß-Klammer [ a ] durch

[ a ] : = max { n | n a }

definiert ist.

Beispiel

Rechne die Zahl x = 79 zur Basis 10 in dieselbe Zahl x zur Basis 2 um. Zur Basis b hat x die Darstellung r m r 2 r 1 r 0 . Für b = 2 erhält man

r 0 = [ 2 0 x ] - 2 [ 2 -1 x ] = 79 - 2 79 2 = 79 - 2 39 = 1 r 1 = [ 2 -1 x ] - 2 [ 2 -2 x ] = 39 - 2 79 4 = 39 - 2 19 = 1 r 2 = [ 2 -2 x ] - 2 [ 2 -3 x ] = 19 - 2 79 8 = 19 - 2 9 = 1 r 3 = [ 2 -3 x ] - 2 [ 2 -4 x ] = 9 - 2 79 16 = 9 - 2 4 = 1 r 4 = [ 2 -4 x ] - 2 [ 2 -5 x ] = 4 - 2 79 32 = 4 - 2 2 = 0 r 5 = [ 2 -5 x ] - 2 [ 2 -6 x ] = 2 - 2 79 64 = 2 - 2 1 = 0 r 6 = [ 2 -6 x ] - 2 [ 2 -7 x ] = 1 - 2 79 128 = 1 - 2 0 = 1 r 7 = [ 2 -7 x ] - 2 [ 2 -8 x ] = 0 - 2 79 256 = 0 - 2 0 = 0

Alle Ziffern r k für k 6 sind Null. Folglich ist

x = 79 zur Basis 10 = 1001111 zur Basis 2 .

Das römische Zahlensystem

Von historischem Interesse ist das römische Zahlensystem. Es ordnet bestimmten, aufsteigenden Dezimalwerten einen Buchstaben zu, also

I , V , X , L , C , D , M , entsprechend 1 , 5 , 10 , 50 , 100 , 500 , 1000 , ,

die ohne Verwendung der Null zur entsprechenden Zahl zusammengestellt werden.

Tab.1
Beispiele für römische Zahlen
römische Zahl III IV VIII IX XXV XL VL XC DDDL MMI
entsprechende arabische Zahl 3 4 8 9 25 40 45 90 350 2001

Im römischen Zahlensystem sind algebraische Operationen wie Addition oder Multiplikation sehr umständlich. Außerdem müssen bei größeren Zahlen Abstände eingefügt werden, damit die Buchstabenreihe eindeutig einer Dezimalzahl zugeordnet werden kann. Deswegen dient es heute nur noch zur Nummerierung.

Seite 4 von 5