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Summe, Produkt und Fakultät

Kurzschreibweise von Summen und Produkten

In der Chemie und Physik müssen häufig viele Zahlen summiert werden. Schreiben wir jede Zahl als Buchstabe ( a , b , usw.) mit Index ( k , n , usw.) z.B. a mit n = 1 , 2 , 3 , , N , dann lautet eine solche Summe allgemein:

a 1 + a 2 + + a N - 1 + a N

Sie erfordert einige Schreibarbeit, wir nehmen deshalb das große griechische Sigma (S wie Summe) und definieren:

n = 1 N a n : = a 1 + a 2 + + a N

Die Variable n , die der Reihe nach die Werte 1 , 2 , , n belegt, heißt Summationsindex. Die beiden Zahlen 1 und N , die die Werte von n begrenzen, sind die Summationsgrenzen, wobei 1 die untere Summationsgrenze und n die obere Summationsgrenze ist. Der Wert der Summe ist von der Bezeichnung der Summationsindizes unabhängig:

n = 1 N a n = j = 1 N a j = k = 1 N a k

Manchmal ist es notwendig, für den Summationsindex n eine Transformation n = k + r , r beliebig gewählte ganze Zahl, k neuer Summationsindex, vorzunehmen. Dann erfolgt die Umformung nach folgender Regel: Umformung der Summationsgrenzen: n = 1 , k + r = 1 , neue untere Grenze: k = 1 - r ; n = N , k + r = N , neue obere Grenze: k = N - r ; Einsetzen von k + r für n in den Ausdruck a n : a k + r ; also:

n = 1 N a n = k = 1 - r N - r a k + r

Summen und Produkte von Summen

Es sei b n mit n = 1 , 2 , , N ein zweiter zu addierender Satz von Zahlen. Es gilt dann für die Gesamtsumme der a- und b-Zahlensätze

n = 1 N a n + n = 1 N b n = N = 1 N a n + b n  .

Entsprechendes gilt für die Differenz.

Für eine beliebige reelle Zahlensumme erhalten wir weiter

n = 1 N c a n = c n = 1 N a n  .

Das Produkt zweier Summen, z.B.

a 1 + a 2 b 1 + b 2 = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

lässt sich ausmultiplizieren und die entstehende Summe durch Verwendung zweier Summationszeichen nebst Indizes n und m schreiben:

n = 1 N a n m = 1 N b m = n = 1 N m = 1 N a n b m

Die Summationsgrenzen können verschieden sein, jedoch muss die Anzahl der Summenglieder beider Summen gleich sein!

Produkte von Zahlen

Die abgekürzte Schreibweise bei Summen kann auch beim Produkt vieler Zahlen eingesetzt werden. Hier dient - vom Wort her einleuchtend - der große griechische Buchstabe Pi (P wie Produkt) als Symbol, es gilt die Definition:

n = 1 N a n : = a 1 a 2 a n

n ist der Multiplikationsindex, 1 und N sind die Multiplikationsgrenzen. Für eine beliebige reelle Zahl c gilt

n = 1 N c a n = c N n = 1 N a n  .
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