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Natürliche Zahlen

Die Peano-Axiome

Die Eigenschaften der natürlichen Zahlen sind in den Peano-Axiomen zusammengefasst:

P 1
Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge mit einem ausgezeichneten Element 0 (Null) (es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist).
P 2
Auf ist eine Abbildung f : { 0 } erklärt (jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger n ' = f ( n ) ).
P 3
Für beliebige Elemente n , m gilt mit n m auch f ( n ) f ( m ) (die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind verschieden).
P 4
Enthält eine Teilmenge A die Null und ist mit jedem n A auch f ( n ) A , so folgt A = .

Laut der Abbildung f sind die Elemente von

0 , f ( 0 ) , f ( f ( 0 ) ) , f ( f ( f ( 0 ) ) ) , ,

die wir in

0 , 1 , 2 , 3 , ,

umbenennen. Die Abbildung f definiert die Addition von 1

n ' = f ( n ) n ' = n + 1 .

Darauf bauen sich die Begriffe von Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen auf.

Gibt es ein x mit m + x = n , so ist x dadurch eindeutig bestimmt.

Gibt es ein x mit m x = n und m 0 , so ist x durch die Eigenschaft eindeutig bestimmt.

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