Definition der natürlichen Zahlen

In der Sprache der Mengenlehre führt man den Begriff der natürlichen Zahlen rigoros ein. Die natürliche Zahl $1$ charakterisiert eine Klasse von Mengen, die alle die gleiche Mächtigkeit besitzen, d.h. alle folgenden gleich mächtigen Mengen enthalten $1$ Element

$$\{\mathit{x}\},\{\text{blau}\},\{\varnothing \},\dots .$$

In diesem Sinn sind sie alle äquivalent, da sie alle ein Element enthalten. Ebenso ordnet man die natürliche Zahl $2$ einer Klasse von Mengen gleicher Mächtigkeit, z.B.

$$\{\mathit{x},\mathit{y}\},\{\text{rot},\text{grün}\},\{\mathit{a},\{\mathit{b},\mathit{c}\}\},\dots$$

zu. Dies führt zur folgenden Definition

Natürliche Zahl

Die natürlichen Zahlen sind die Äquivalenzklassen der endlichen Mengen bezüglich der Gleichmächtigkeit.