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Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen

Beim Zählen von Dingen begegnen uns die natürlichen Zahlen 1 , 2 , 3 , . Sie sind unabhängig davon, was gezählt wird. So ist das Symbol n eine Abstraktion aller Gesamtheiten, die n Dinge enthalten. Gleiche Dinge lassen sich durch natürliche Zahlen quantifizieren. Die Eigenschaften von negativen Zahlen z.B. -2 , Brüchen z.B. 3 / 4 oder irrationalen Zahlen z.B. π sind auf die Eigenschaften von natürlichen Zahlen zurückführbar. Folglich sind die natürlichen Zahlen die Grundlage der Mathematik.

Hinsichtilich der Null 0 ist es eine Sache der Definition, ob sie als natürliche Zahl betrachtet wird. Die folgenden Bezeichnungen für die Menge der natürlichen Zahlen (mit oder ohne der Null) sind üblich.

= { 1 , 2 , 3 , } 0 = { 0 , 1 , 2 , 3 , }

oder alternativ

= { 0 , 1 , 2 , 3 , } { 0 } = { 1 , 2 , 3 , }

Die verwendeten Zeichen für die natürlichen Zahlen sind im Prinzip frei wählbar. Deswegen sind die folgenden Darstellungen von ebenfalls zulässig

= { 0 , I , II , III , IV , } römisches System = { 0 , 1 , 10 , 11 , } binarisches System .

Die natürlichen Zahlen sind dadurch charakterisiert, dass jede Zahl n einen eindeutigen Nachfolger besitzt, d.h. 1 folgt 0 , 2 folgt 1 , usw. Diese Eigenschaft haben beispielsweise die rationalen Zahlen nicht.

Rechenregeln

Die mathematische Theorie der natürlichen Zahlen wird als Arithmetik bezeichnet. Die Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen sind bestimmten Gesetzen unterworfen.

Seien m , n , p . Dann gelten für die algebraischen Operationen Addition + und Multiplikation folgende Regeln.

Tab.1
Rechenregeln der natürlichen Zahlen
Abgeschlossenheit m + n , m n
Kommutativität der Addition m + n = n + m
Assoziativität der Addition ( m + n ) + p = m + ( n + p )
Nullelement m + 0 = m , m 0 = 0
Kommutativität der Multiplikation m n = n m
Assoziativität der Multiplikation ( m n ) p = m ( n p )
Einselement m 1 = m
Distributivgesetz m ( n + p ) = ( m n ) + ( m p )

Man beachte, dass in diesen Regeln die algebraischen Operationen Subtraktion - und Division / nicht enthalten sind. Ihre Definition führt auf die ganzen bzw. rationalen Zahlen.

Lineare Ordnung

Mittels der Addition zweier natürlicher Zahlen lassen sich die Begriffe von „kleiner als” (Symbol < ) und „größer als” (Symbol > ) definieren. Seien m , n . Die Aussage m < n (oder n > m ) heißt, es existiert ein p mit m + p = n , z.B.

5 > 3 da 3 + p = 5 mit p = 2 .

Im Fall p 0 ist Gleichheit m = n nicht ausgeschlossen. Die Aussage m < n oder m = n lässt sich kurz gemäß m n (oder n m ) formulieren.

In der Sprache der Mengenlehre bezeichnet man (oder ) als eine Relation auf der Menge der natürlichen Zahlen. Sie heißt lineare Ordnung, da sie die folgenden Eigenschaften erfüllt.

Tab.2
Lineare Ordnung
Reflexivität n n n
Transitivität m n und n p m p
Identität m n und n m m = n

Für die Null gilt 0 n n , d.h. 0 ist das kleinste Element.

0 < 1 < 2 < < n + 1 < n < .
Theorem
Jede nicht leere Teilmenge von besitzt ein kleinstes Element.

Die Gültigkeit dieses Satzes ist offensichtlich. Aber er gilt beispielsweise nicht für die ganzen Zahlen, denn die Menge = { 0 , ± 1 , ± 2 , } besitzt kein kleinstes Element.

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