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Allgemeine Grundlagen der Mathematik

Algebraische Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nicht leere Menge M , auf der eine oder mehrere Verknüpfungen mit Rechenregeln, z.B. Addition; und Multiplikation definiert sind.

Verknüpfung
Eine Verknüpfung auf einer Menge M ordnet jedem geordneten Paar ( x , y ) M × M ein Element x y M zu.

Man bezeichnet die algebraische Struktur als ( M , , * ) , z.B. ( , + , ) .

Die möglichen algebraischen Gesetze sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Für alle x , y , z M gelten die folgenden Axiome.

Tab.1
Axiome
AdditionMultiplikation
Existenzgesetz: x y = z E + x + y = z E x y = z
Assoziativgesetz: ( x y ) z = x ( y z ) A + ( x + y ) + z = x + ( y + z ) A ( x y ) z = x ( y z )
Neutrales Element e : x e = e x = x N + x + 0 = 0 + x = x N x 1 = 1 x = x
Inverses Element x ¯ : x x ¯ = x ¯ x = e I + x + ( - x ) = ( - x ) + x = 0 I x 1 x = 1 x x = 1
Kommutativgesetz: x y = y x K + x + y = y + x K x y = y x

Außerdem gibt es das Distributivgesetz D

x ( y + z ) = x y + x z ( x + y ) z = x z + y z .

Die bekanntesten algebraischen Strukturen sind Gruppen, Ringe und Körper.

Gruppen

Eine Menge M heißt bezüglich einer Verknüpfung eine Gruppe G , wenn die folgenden Axiome gelten.

Tab.2
Gruppenaxiome
Existenzgesetz x y = z
Assoziativgesetz ( x y ) z = x ( y z )
Neutrales Element x e = e x = x
Inverses Element x x ¯ = x ¯ x = e

Eine Gruppe heißt eine kommutative Gruppe, wenn außerdem das Kommutativgesetz

x y = y x  gilt.

Ringe

Eine Menge M heißt bezüglich zweier Verknüpfungen und * ein Ring R , wenn die folgenden Axiome gelten.

Tab.3
Ringaxiome
Existenzgesetz x y = z , x * y = z
Assoziativgesetz ( x y ) z = x ( y z ) , ( x * y ) * z = x * ( y * z )
Neutrales Element x e = e x = x
Inverses Element x x ¯ = x ¯ x = e
Kommutativgesetz x y = y x
Distributivgesetz x * ( y z ) = x * y x * z , ( x y ) * z = x * z y * z

Ein Ring heißt ein kommutativer Ring, wenn außerdem das Kommutativgesetz bezüglich *

x * y = y * x  gilt.

Es gibt auch Ringe mit einem neutralen Element bezüglich * :

x * e ' = e ' * x = x ' .

Körper

Eine Menge M heißt bezüglich zweier Verknüpfungen und * ein Körper K , wenn die folgenden Axiome gelten:

Tab.4
Körperaxiome
Existenzgesetz x y = z , x * y = z
Assoziativgesetz ( x y ) z = x ( y z ) , ( x * y ) * z = x * ( y * z )
Neutrales Element x e = e x = x , x * e ' = e ' * x = x '
Inverses Element x x ¯ = x ¯ x = e , x * x ^ = x ^ * x = e '
Kommutativgesetz x y = y x , x * y = y * x
Distributivgesetz x * ( y z ) = x * y x * z , ( x y ) * z = x * z y * z
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