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Allgemeine Grundlagen der Mathematik

Mengenlehre

„Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen”, Georg Cantor (1895).

Eine Menge ist eine wohldefinierte Gesamtheit irgendwelcher Objekte, z.B. wird eine Menge von Farben wie folgt angegeben.

{ rot , blau , grün }

Die Objekte nennt man Elemente der Menge. Die Reihenfolge der aufgeschriebenen Elemente einer Menge spielt keine Rolle, z.B.

{ a , b , c } = { b , c , a } .

Wohldefiniert heißt, dass alle Elemente einer Menge eine Eigenschaft E besitzen, die sie zweifelsfrei erklärt. Man verwendet die Peano-Notation:

M = { x | x besitzt die Eigenschaft E } ,

z.B.

M = { x | x natürliche Zahl , x > 5 } = { 6 , 7 , 8 , } .

Um zu sagen, dass ein Element x zu einer Menge M gehört, schreibt man x M , z.B. für die Menge

M = { 6 , 7 , 8 }

ist 7 M aber 2 M .

Eine Menge ohne Elemente heißt die leere Menge = { } . Ein Element einer Menge kann auch eine Menge sein, z.B. enthält die folgende Menge X vier Elemente (nicht fünf!):

X = { a , b , { a , c } , d } .

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten, z.B.

X = { a , b , c } , Y = { b , a , c } X = Y .

Eine Menge N heißt Teilmenge oder Untermenge der Menge M , wenn jedes Element x N auch in M liegt. M ist dann Obermenge von N . Man schreibt dann

N M oder M N .

Ist Gleichheit N = M auch impliziert, wird das Symbol verwendet. Für eine Menge M gilt stets

M M und M .
Beispiel

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Untermenge der Menge der ganzen Zahlen

{ 0 , 1 , 2 , } { , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , } .

Mengenoperationen

X und Y seien Mengen. Man kann aus X und Y neue Mengen bilden:

Vereinigung
M = X Y = { x | x X oder x Y }
Durchschnitt
M = X Y = { x | x X und x Y }

Falls X Y = , heißen X und Y disjunkt.

Differenz
M = X Y = { x | x X und x Y }
Kartesisches Produkt
M = X × Y = { ( x , y ) | x X , y Y }

d.h. X × Y ist die Menge von geordneten Paaren ( x , y ) .

Beispiel

Seien X = { a , b } und Y = { a , c , d } . Somit ist:

X Y = { a , b , c , d } X Y = { a } X Y = { b } X × Y = { ( a , a ) , ( a , c ) , ( a , d ) , ( b , a ) , ( b , c ) , ( b , d ) } .

Relationen

Relation
X und Y seien Mengen. Eine Relation R zwischen X und Y ist eine Teilmenge von X × Y , d.h. R X × Y .

Ein wichtiger Typ von Relation heißt Abbildung oder Funktion f .

Funktion
Eine Funktion von X in Y (kurz: f : X Y ) ist eine Vorschrift, die jedem Element x X genau ein Element y = f ( x ) Y zuordnet.
Beispiel

Seien X = { a , b , c } und Y = { c , e , f , g , h } . Dann ist beispielsweise eine Funktion f von X in Y gegeben durch

f X × Y = { ( a , g ) , ( b , e ) , ( c , h ) } ,

wobei g = f ( a ) , e = f ( b ) , h = f ( c ) sind.

Surjektive Funktion
Eine Funktion f : X Y heißt surjektiv, wenn gilt Y = f ( X ) , d.h. das Bild von X ist gleich der Menge Y .
Injektive Funktion
Eine Funktion f : X Y heißt injektiv, wenn gilt f ( x ) = f ( x ' ) x = x ' .
Bijektive Funktion
Eine injektive und surjektive Funktion heißt bijektiv.

Zahlenbereiche

Tab.1
Zahlenbereiche
Menge aller natürlichen Zahlen = { 0 , 1 , 2 , 3 , }
Menge aller ganzen Zahlen = { 0 , ± 1 , ± 2 , }
Menge aller rationalen Zahlen = { m n | m , n { 0 } }
Menge aller reellen Zahlen
Menge aller irrationalen Zahlen
Menge aller komplexen Zahlen = { x + i y | x , y }

Mächtigkeit

Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion f : X Y gibt, z.B.

X = { a , b } , Y = { rot , blau } ; f ( a ) = rot , f ( b ) = blau .

Die Mengen , und sind gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist abzählbar unendlich und wird als 0 (lies: Aleph-Null) bezeichnet.

Die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist unabzählbar unendlich und wird als das Kontinuum c bezeichnet.

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