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Allgemeine Grundlagen der Mathematik

Aussagen und Logik

Eine Aussage A ist ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder falsch ist, z.B.

A : 2 ist eine gerade Zahl

ist wahr. Andererseits ist

A : 2 ist eine negative Zahl

eine falsche Aussage. Seien A 1 , A 2 Aussagen, z.B.

A 1 : n ist eine gerade Zahl A 2 : 2 n ist eine gerade Zahl ,

dann folgt A 2 aus A 1 und man schreibt dafür A 1 A 2 . Die umgekehrte Beziehung A 2 A 1 ist hier aber falsch, z.B. für 2 n = 2 ist n = 1 keine gerade Zahl und man schreibt dafür A 2 A 1 . Sind hingegen

A 1 : n ist eine gerade Zahl A 2 : n +1 ist eine ungerade Zahl ,

dann gilt A 1 A 2 und A 2 A 1 und man schreibt dafür A 1 A 2 .

Weitere Symbole sind (und), (oder) und ¬ (nicht). Die Aussage A 1 A 2 ist wahr, nur wenn A 1 und A 2 beide wahr sind. Die Aussage A 1 A 2 ist wahr, nur wenn mindestens eine von A 1 und A 2 wahr ist. Die Aussage ¬ A ist wahr, wenn A falsch ist, und umgekehrt.

Die Symbole sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Tab.1
Aussagen
Implikation A 1 A 2 aus A 1 folgt A 2
Äquivalenz A 1 A 2 A 1 und A 2 sind äquivalent
Konjunktion A 1 A 2 A 1 und A 2
Disjunktion A 1 A 2 A 1 oder A 2
Negation ¬ A nicht A
Warnung
Das Symbol wird oft für „der nächste Schritt ist” falsch gebraucht. Richtig ist das Symbol .

Beweismethode

Der direkte Beweis einer Aussage A erfolgt durch Anwendung bekannter wahrer Aussagen, um zur Aussage A zu gelangen.

Der Widerspruchsbeweis beginnt mit der Annahme, dass das Gegenteil der Aussage A wahr sei. Man muss dann zeigen, dass dies zum Widerspruch zu einer bekannten wahren Aussage führt. Somit muss man zum Schluss kommen, dass das Gegenteil der Aussage A nicht wahr sein kann, d.h. A wahr sein muss.

Tab.2
Bezeichnungen
Symbol !
Bedeutung für alle es existiert es existiert genau ein
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