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Herleitung der Carothers-Gleichung

Den Polymerisationsgrad P ¯ n = N 0 N als Funktion des Umsatzes und des Stoffmengenverhältnisses der funktionellen Gruppen r erhält man wie folgt. Die Gesamtzahl der eingesetzten Monomermoleküle N 0 beträgt:

N 0 = N A 0 + N B 0 2
Legende
N A 0 N B 0 -Anzahl der funktionellen Gruppen A, B zur Zeit t = 0.

Die Gesamtzahl N der Moleküle beim Umsatz p und dem Stoffmengenverhältnis r ist dann:

N = N A 0 ( 1 p ) + N B 0 ( 1 r p ) 2   .
Legende
p -kennzeichnet den Umsatz der Unterschusskomponente AA, daher gelten
N A = N A 0 (1 - p ) -für die Anzahl der funktionellen Gruppe A
N B = N B 0 (1 -  r p ) -für die Anzahl der funktionellen Gruppe B
r -Stoffmengenverhältnis der funktionellen Gruppen
r = N A 0 N B 0 -mit r ≤ 1

Daraus kann man den Polymerisationsgrad berechnen:

P ¯ n = N 0 N = N A 0 ( 1 + r ) / 2 [ N A 0 ( 1 p ) + N B 0 ( 1 r p ) ] / 2 = 1 + r 1 + r 2 r p   .