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Mechanik deformierbarer Festkörper, Teil 2

Schallausbreitung in Festkörpern

In Festkörpern können sich Longitudinal- und Transversalwellen ausbreiten. Ist der Festkörper stab- oder plattenförmig, sind auch Biegewellen möglich, die keine reinen Longitudinal- oder Transversalwellen sind.

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Abb.1
Schallwellen in einem Stab

Die Animation soll einen Eindruck von den Bewegungsformen geben. Deshalb beschränken sich die gezeigten Wellen auf nur eine Auslenkung pro Richtung. In Wirklichkeit werden durch Stoß Wellenpakete erzeugt, die sich aus Wellen eines ganzen Spektrums von Frequenzen und außerdem mehreren Auslenkungen für jede Einzelwelle zusammensetzen.

Druckwellen sind reine Longitudinalwellen. Die Auslenkung besteht hier in einer Verkürzung bzw. Dehnung des Stabes. Torsionswellen, bei denen die Bewegung in einer Verdrehung der Stababschnitte gegeneinander besteht, sind reine Transversalwellen.

Longitudinal- und Transversalwellen breiten sich unterschiedlich schnell aus. In die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen (Torsionswellen) geht der Torsionsmodul (siehe Schermodul ein.

c trans = G ρ c trans = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwellen G = Scher-, Schub-, Torsionsmodul ρ = Dichte

Longitudinalwellen sind dagegen mit einer einseitigen Kompression des Stabes verbunden. Hier geht der Elastizitätsmodul ein.

c long = E ρ c long = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwellen E = Elastizitätsmodul ρ = Dichte

Diese Gleichung gilt allerdings nur, solange die Querabmessungen des Stabes klein im Vergleich zur Wellenlänge sind. Für die Geschwindigkeit der Longitudinalwelle in einem unendlich ausgedehnten Medium liefert die Theorie den folgenden Ausdruck:

c long = E ρ · 1 - μ ( 1 + μ ) ( 1 - 2 μ ) c long = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwellen E = Elastizitätsmodul ρ = Dichte μ = Poisson-Zahl
Tab.1
Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien
Stofflongitudinal in ms-1 transversal in ms-1
Luft346-
Ethanol1207-
Wasser1497-
Polyethylen 920540
Polystyrol 22401120
Blei, weich1190700
Kupfer, weich38102325
Eisen, 99,8 %52003240
Beryllium128708880

Luft und Flüssigkeiten bei 25 °C. Die Geschwindigkeit von Longitudinalwellen in Festkörpern ist bezogen auf Formel (endliche Ausdehnung des Festkörpers). Die Schallgeschwindigkeiten in Festkörpern sind abhängig von deren Vorbehandlung.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Biegewellen ist stark frequenzabhängig. Je höher die Frequenz ist, desto schneller breiten sich die Wellen aus. Aufgrund dieser Dispersion verändern sich die Schallsignale auf dem Weg von der Quelle zum Empfänger. Wird beispielsweise kurz auf die Eisschicht eines zugefrorenen Gewässers geschlagen, hört ein genügend weit entfernter Beobachter statt eines Schlages ein "piuuh", d.h. in schneller Abfolge zuerst hohe und dann immer tiefere Frequenzen.

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