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Herleitung μ ≤ 0,5

Der kreisförmige Querschnitt des Stabes

A = π ( d 2 ) 2 = π r 2 A = Querschnittsfläche ohne Zugbelastung d = Durchmesser ohne Zugbelastung r = Radius ohne Zugbelastung

verringert sich unter Zugbelastung auf

A + Δ A = π ( r + Δ r ) 2 = π r 2 + 2 π r Δ r + π ( Δ r ) 2 π r 2 + 2 π r Δ r

Die relative Querschnittsänderung ist dann

Δ A A = 2 π r Δ r π r 2 = 2 Δ r r = 2 Δ d d

Das Volumen des Stabes

V = A · l

nimmt unter der Zugbelastung zu auf

V + Δ V = ( A + Δ A ) ( l + Δ l ) A · l + A · Δ l + l · Δ A

Die relative Volumenänderung ist dann

Δ V V = Δ l l + Δ A A = Δ l l + 2 Δ d d

Einsetzen der Poisson-Zahl ergibt

Δ V V = Δ l l - 2 μ Δ l l = Δ l l ( 1 - 2 μ )

Da das Volumen unter Zugbelastung nie abnimmt ( Δ V 0 ), muss gelten:

μ 0,5