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Herleitung: Viskositätsmittel und Gewichtsmittel M ¯ η

Aus der Kuhn-Mark-Houwink-Sakurada-Gleichung

M ¯ η α = [η] K = ηsp K · c
Legende
M ¯ η -Viskositätsmittel der Molmasse
α -Exponent, der hydrodynamische Wechselwirkungen zwischen Lösemittel und Makromolekül beschreibt
[η] -intrinsische Viskosität
K -empirisch ermittelte Konstante
ηsp -spezifische Viskosität
c -Konzentration des gelösten Polymers

erhält man:

ηsp = M ¯ η α · K · c .

ηsp setzt sich aus den ηsp-Werten der einzelnen Fraktionen der Molmassenverteilung zusammen:

ηsp = η sp, 1 + η sp, 2 + ... + η sp, i = K M 1 α c1 + K M 2 α c2 + ... + K M i α ci

Dabei ist ci = ni·Mi. Die Gleichung lautet für beliebige α-Werte:

M ¯ η α = η sp K c = K ( M 1 α c 1 + M 2 α c 2 + ... + M i α c i ) K ( c 1 + c 2 + ... + c i ) = c i · M i α c i = n i M i α + 1 n i M i

Löst man diese Gleichung nach M ¯ η auf, so erhält man die allgemeine Gleichung für das Viskositätsmittel:

M ¯ η = ( c i · M i α c i ) 1 α = ( n i M i α + 1 n i M i ) 1 α

Nimmt der Exponent α der Kuhn-Mark-Houwink-Sakurada-Beziehung den Wert 1 an, so gilt für die viskosimetrische Molmasse

M ¯ η = [η] K = ηsp K · c

bzw. ηsp = M ¯ η · K · c .

Für den Fall α = 1 entspricht das Viskositätsmittel demnach dem Gewichtsmittel:

M ¯ η = ηsp K c = K ( M 1 c 1 + M 2 c 2 + ... + M i c i ) K ( c 1 + c 2 + ... + c i ) = c i · M i c i = n i M i 2 n i M i = M¯w