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Michaelis-Menten-Gleichung

Reversible Enzymreaktionen

Der Michaelis-Menten-Gleichung liegt eine irreversibel verlaufende Enzymreaktion zugrunde. Dies trifft z.B. für Phosphatasen und Peptidasen zu. Die meisten anderen Enzyme wie z.B. die Isomerasen und Dehydrogenasen streben allerdings einem Gleichgewicht zu und können durch Zugabe von Substrat oder Produkt gestartet werden. Bei der dabei ablaufenden Reaktion muss besonders die Rückreaktion k-2 beachtet werden.

Abb.1

In den Differenzialgleichungen für [S] und [ES] muss jeweils die Rückreaktion berücksichtigt werden und es ändert sich die Reaktionsgeschwindigkeit v:

d [ E ] d t = ( k 1 + k 2 ) [ E S ] ( k 1 [ S ] + k 2 [ P ] ) [ E ] , d [ E S ] d t = ( k 1 + k 2 ) [ E A ] + ( k 1 [ S ] + k 2 [ P ] ) [ E ] , d [ P ] d t = k 2 [ E S ] k 2 [ P ] [ E ] = v .

[E] und [ES] lassen sich mit Hilfe der Enzymgesamtmenge berechnen: [E]0 = [E] + [ES]. Aus den obigen Gleichungen ergibt sich zunächst die Gleichung für die Umsatzgeschwindigkeit in Form der Geschwindigkeitskonstanten:

v = ( k 1 k 2 [ A ] + k 1 k 2 [ P ] ) [ E ] 0 ( k 1 [ A ] + k 2 [ P ] + ( k 1 + k 2 )

Da sich Geschwindigkeitskonstanten nicht direkt bestimmen lassen, wird diese Gleichung in Form der kinetischen Konstanten ausgedrückt. Zähler und Nenner werden dazu mit (k-1 + k2) / k1 x k-2 multipliziert; Kms und v1 sind die Michaelis-Konstante und vmax der Hinreaktion, Kmp und v2 die der Rückreaktion.

K m s = k 1 + k 2 k 1 ; K m p = k 1 + k 2 k 2 ; v 1 = k 2 [ E ] 0 ; v 2 = k 1 [ E ] 0 ; v = v 1 v 2 = K m p v 1 [ S ] K m s v 2 [ P ] K m s K m p + K m p [ S ] + K m s [ P ] v 1 = v 1 [ S ] K m s + [ S ] ; v 2 = v 2 [ P ] K m p + [ P ]

Aus der letzten Gleichung ergibt sich Folgendes:

  • Solange das Produkt [P] vernachlässigt werden kann, ist selbst bei Vorliegen einer Rückreaktion die Michaelis-Menten-Gleichung gültig.
  • Nimmt [P] im Verlauf der Reaktion zu, so beeinflusst und verringert die Rückreaktion zunehmend die Reaktionsgeschwindigkeit.

In der grafischen Darstellung ergibt sich durch die einsetzende Rückreaktion trotz Verwendung der Linearisierungsverfahren keine Gerade mehr. Bezieht man die Rückreaktion allerdings in die Integration mit ein, so ergibt sich:

[ S ] 0 [ S ] t = K m p v 1 K m s v 2 K m p K m s K m K m p K m p K m s · ( 1 + ( v 1 + v 2 ) [ S ] 0 K m p v 1 + K m s v 2 ) ln ( 1 [ S ] 0 [ S ] [ P ] g ) t

[P]g entspricht der Produktkonzentration beim Erreichen des Gleichgewichtes. Aufgetragen wird ([S]0 - [S]) / t gegen ln(1-([S]0 - [S]) /[P]g) / t. Sind [P]g und v2 nicht bekannt, so lassen sich Kms und v1 durch Auftragung von ([S]0 - [S]) / t gegen ln([S]0 /[S]) / t bei verschiedenen [S]0-Werten aus dem Anfangsbereich ([P] =0) berechnen. Entsprechendes gilt für Kmp und v2 aus der Rückreaktion.

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