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Molecular Modelling beim Wirkstoffdesign

Monte-Carlo-Verfahren

Unter den so genannten Monte-Carlo- (MC-) Verfahren versteht man verschiedene stochastische Techniken, die auf der Verwendung von Zufallszahlen und der Wahrscheinlichkeitsrechnung beruhen. Sie finden in verschiedenen Bereichen von der Chemie und Kernphysik über die Wirtschaftswissenschaften bis hin zum Management von Verkehrsleitsystemen breite Anwendung. Obwohl es in jeder der einzelnen Disziplinen wieder Dutzende von Spezialverfahren gibt, basieren alle MC Verfahren letztlich alle auf der Erzeugung einer Gruppe von Zufallszahlen, die in der Simulation und Lösung von Problemen genutzt werden können.

In den verschiedenen Verfahren des Molecular Modellings ist die Lösung von Gleichungssystemen für die Beschreibung der Interaktionen zwischen zwei oder wenigen Atomen relativ einfach - die Lösung derselben Gleichungen für größere Systeme jedoch entweder praktisch oder sogar theoretisch unmöglich. MC-Methoden reduzieren ein komplexes System, indem sie eine bewältigbare Anzahl zufällig generierter Werteverteilungen berechnen. Diese können dann stellvertretend für das ganze System beschrieben und gelöst werden.

Ihren Namen erhielten diese Techniken von einer im Manhattan-Projekt (Entwicklung der Atombombe) arbeitenden Arbeitsgruppe um den amerikanischen Physiker Metropolis. Durch die Ähnlichkeit zwischen statistischen Simulationen und Glücksspielen, als deren Hochburg die Hauptstadt von Monaco gilt, werden derartige statistische Verfahren seither als Monte-Carlo-Verfahren bezeichnet.

Eine Monte-Carlo-Simulation enthält die folgenden Anteile:

  1. Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen (probability distribution functions, pdf): das physikochemische oder mathematische System wird durch eine Gruppe von pdfs beschrieben.
  2. Zufallszahlgenerator: Quelle für die uniforme Erzeugung über das untersuchte Intervall verteilter Zufallszahlen.
  3. Vorschrift zur Stichprobenentnahme: Ein Rezept, wie aus den pdfs Stichproben gezogen werden.
  4. Auswertung und Kontrolle (scoring oder tallying): Arrangement der Stichproben in sinnvolle Klassen.
  5. Fehlerabschätzung: Eingrenzung des statistischen Fehlers (Varianz) als Funktion des Stichprobenumfangs und anderer Größen.
  6. Techniken zur Reduktion der Varianz: Nicht Voraussetzung, aber bessere Ergebnisse.
  7. Parallelisierung und Vektorisierung: Algorithmen für die Implementierung der Monte-Carlo-Methoden in moderne Computerarchitekturen.
Monte-Carlo-Methode für die Schätzung der Kreiszahl π
Abb.1

Gegeben ist ein Einheitskreis mit Radius r = 1 und ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 2. Bei einer zufälligen Ziehung eines Punktes ( x , y ) dessen x- und y-Werte zwischen -1 und 1 liegen, ist die Wahrscheinlichkeit (P), dass dieser Punkt innerhalb des Kreises liegt, abhängig von dem Verhältnis der Flächen des Quadrats und des Kreises zueinander.

Die Wahrscheinlichkeit (P), dass ein Punkt innerhalb des Kreises liegt, bestimmt sich daher wie folgt: P ( x 2 + y 2 < 1 ) = A K r e i s A Q u a d r a t = π 4 Wenn N Punkte gezogen werden und M davon liegen innerhalb des Kreises, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Punkt innerhalb des Kreises liegt: P 0 ( x 2 + y 2 < 1 ) = M N Wenn nun N sehr groß gewählt wird (gegen unendlich strebt), dann nähern sich die beiden Wahrscheinlichkeiten einander an, und man kann die Kreiszahl π aus dieser Beziehung bestimmen: π = 4 M N

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