1. Kombination (Stichprobe) ohne Zurücklegen (Teilmenge, Ziehung ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge)

Im Gegensatz zu den Variationen ohne Wiederholung werden in diesem Fall alle Kombinationen, die sich aus den gleichen Elementen zusammensetzen und sich nur durch die Reihenfolge der Elemente unterscheiden, zusammengefasst und als ein Fall betrachtet. Alle (n) Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander. Es werden einige (k) Elemente ausgewählt, ein Element kann nicht mehrmals gewählt werden. Wieviele mögliche unterschiedliche Elementzusammensetzungen (= Kombinationen) gibt es?

Die Anzahl der Kombinationen ergibt sich aus der Formel:

$$S_{n,k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Definition

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$: Binomialkoeffizient (gelesen: n über k)

Beispiel

Ziehung der Lottozahlen:

Aus 49 nummerierten Kugeln werden nacheinander 6 Kugeln gezogen. Wieviele mögliche Sets aus je 6 Zahlen gibt es? Die Lösung:

$n=49$; $k=6$; $V=n!÷((n-k)!·k!)=49!÷((49-6)!·6!)=\mathrm{13.983.816}$

Es gibt also ca. 14 Millionen verschiedene Möglichkeiten, die 6 Zahlen im Lotto anzukreuzen.

2. Stichprobe (Kombination) mit Zurücklegen (Teilmenge, Ziehung mit Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge)

Alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander. Es werden einige Elemente ausgewählt (Stichprobe), ein Element kann mehrmals ausgewählt werden. Wieviele mögliche unterschiedliche ausgewählte Kombinationen gibt es?

$${\tilde{S}}_{n,k}=\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)=\frac{\left(n+k-1\right)!}{k!(n-1)!}$$

Beispiel

Aus einem gefüllten Zigarettenautomaten mit 15 Fächern können 15 verschiedene Zigarettensorten ausgewählt werden. Wieviele mögliche Zusammensetzungen (Kombinationen) von jeweils drei unterschiedlichen Zigarettenpäckchen gibt es?

Bei jeder Ziehung stehen alle Zigarettensorten zur Verfügung, jede Sorte kann mehrfach gezogen werden (mit Wiederholung). Die Reihenfolge der Ziehung ist irrelevant. Die Lösung:

$n=15$ Zigarettensorten, $k=3$ Zigarettenpäckchen; $S=(15+3-1)!÷((15-1)!·3!)=680$

680 unterschiedliche Kombinationen aus jeweils 3 Zigarettenpäckchen sind möglich.